Problema de velocitats orbitals i energia potencial d’un satèl·lit

a) Deduïu la relació entre la velocitat orbital i la velocitat d’escapament d’un satèl·lit que es troba orbitant a una distància $r$ del centre de la Terra.

b) El satèl·lit espanyol Paz, que es va llançar el febrer de 2018, té una massa de 1400 kg i es manté en una òrbita circular a una velocitat de $7,6 \, \text{km/s}$.
i) Determineu raonadament el radi de l’òrbita.
ii) Quantes voltes donarà al voltant de la Terra en 1 dia?
iii) Calculeu la diferència d’energia potencial del satèl·lit en la seva òrbita respecte a la que tindria a la superfície terrestre.

Dades:
$G = 6,67 \cdot 10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2$; $M_{\text{Terra}} = 5,98 \cdot 10^{24} \, \text{kg}$; $R_{\text{Terra}} = 6370 \, \text{km}$.

a) Relació entre la velocitat orbital i la velocitat d’escapament:

• Velocitat orbital ($v_{\text{orb}}$):
  Per a un satèl·lit en òrbita circular a una distància $r$ del centre de la Terra, la força gravitacional proporciona la força centrípeta necessària:

$$\frac{G M m}{r^2} = \frac{m v_{\text{orb}}^2}{r}$$

Simplifiquem:

$$\frac{G M}{r} = v_{\text{orb}}^2 \implies v_{\text{orb}} = \sqrt{\frac{G M}{r}}$$

• Velocitat d’escapament ($v_{\text{esc}}$):
  La velocitat d’escapament es deriva de l’energia total necessària perquè el satèl·lit s’allunyi a l’infinit (energia total = 0):

$$\frac{1}{2} m v_{\text{esc}}^2 – \frac{G M m}{r} = 0 \implies \frac{1}{2} v_{\text{esc}}^2 = \frac{G M}{r} \implies v_{\text{esc}}^2 = \frac{2 G M}{r} \implies v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2 G M}{r}}$$

• Relació entre $v_{\text{orb}}$ i $v_{\text{esc}}$:

$$v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2 G M}{r}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{G M}{r}} = \sqrt{2} \cdot v_{\text{orb}}$$

Per tant, la velocitat d’escapament és $\sqrt{2}$ vegades la velocitat orbital:

$$v_{\text{esc}} = \sqrt{2} \cdot v_{\text{orb}}$$

b) i) Radi de l’òrbita del satèl·lit Paz:

Dades:

• $v_{\text{orb}} = 7,6 \, \text{km/s} = 7,6 \cdot 10^3 \, \text{m/s}$
• $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2$
• $M_{\text{Terra}} = 5,98 \cdot 10^{24} \, \text{kg}$

Utilitzem l’equació de la velocitat orbital:

$$v_{\text{orb}} = \sqrt{\frac{G M}{r}}$$

$$v_{\text{orb}}^2 = \frac{G M}{r} \implies r = \frac{G M}{v_{\text{orb}}^2}$$

Calculem:

$$G M = (6,67 \cdot 10^{-11}) \cdot (5,98 \cdot 10^{24}) \approx 3,99 \cdot 10^{14} \, \text{m}^3/\text{s}^2$$

$$v_{\text{orb}}^2 = (7,6 \cdot 10^3)^2 = 5,776 \cdot 10^7 \, \text{m}^2/\text{s}^2$$

$$r = \frac{3,99 \cdot 10^{14}}{5,776 \cdot 10^7} \approx 6,91 \cdot 10^6 \, \text{m} = 6910 \, \text{km}$$

Per tant, el radi de l’òrbita és $r \approx 6910 \, \text{km}$. Com que el radi de la Terra és $6370 \, \text{km}$, l’altura sobre la superfície és:

$$h = r – R_{\text{Terra}} = 6910 – 6370 = 540 \, \text{km}$$

b) ii) Voltes al voltant de la Terra en 1 dia:

Primer calculem el període orbital $T$ amb la velocitat orbital i el radi:

$$v_{\text{orb}} = \frac{2 \pi r}{T} \implies T = \frac{2 \pi r}{v_{\text{orb}}}$$

$$r = 6,91 \cdot 10^6 \, \text{m}, \quad v_{\text{orb}} = 7,6 \cdot 10^3 \, \text{m/s}$$

$$T = \frac{2 \pi (6,91 \cdot 10^6)}{7,6 \cdot 10^3} \approx \frac{2 \cdot 3,1416 \cdot 6,91 \cdot 10^6}{7,6 \cdot 10^3} \approx 5712 \, \text{s}$$

Un dia té $24 \cdot 60 \cdot 60 = 86.400 \, \text{s}$. El nombre de voltes és:

$$\text{Nombre de voltes} = \frac{86.400}{5712} \approx 15,13$$

Per tant, el satèl·lit Paz dona aproximadament 15 voltes completes al dia (arrodonint a l’enter inferior, ja que no completa la volta 16 en un dia exacte).

b) iii) Diferència d’energia potencial:

L’energia potencial gravitacional d’un satèl·lit de massa $m$ a una distància $r$ és:

$$U = -\frac{G M m}{r}$$

• A l’òrbita ($r = 6,91 \cdot 10^6 \, \text{m}$):

$$U_{\text{òrbita}} = -\frac{(6,67 \cdot 10^{-11}) (5,98 \cdot 10^{24}) (1400)}{6,91 \cdot 10^6}$$

$$U_{\text{òrbita}} = -\frac{(3,99 \cdot 10^{14}) (1400)}{6,91 \cdot 10^6} \approx -8,08 \cdot 10^{10} \, \text{J}$$

• A la superfície terrestre ($r = R_{\text{Terra}} = 6370 \, \text{km} = 6,37 \cdot 10^6 \, \text{m}$):

$$U_{\text{superfície}} = -\frac{(6,67 \cdot 10^{-11}) (5,98 \cdot 10^{24}) (1400)}{6,37 \cdot 10^6}$$

$$U_{\text{superfície}} = -\frac{(3,99 \cdot 10^{14}) (1400)}{6,37 \cdot 10^6} \approx -8,76 \cdot 10^{10} \, \text{J}$$

• Diferència d’energia potencial:

$$\Delta U = U_{\text{òrbita}} – U_{\text{superfície}} = (-8,08 \cdot 10^{10}) – (-8,76 \cdot 10^{10}) = 8,76 \cdot 10^{10} – 8,08 \cdot 10^{10} = 6,8 \cdot 10^9 \, \text{J}$$

Resposta final:

a) La velocitat d’escapament és $v_{\text{esc}} = \sqrt{2} \cdot v_{\text{orb}}$.

b)
i) El radi de l’òrbita és $r \approx 6910 \, \text{km}$ (o $540$ km d’altura sobre la superfície).
ii) El satèl·lit Paz dona aproximadament $15$ voltes al dia.
iii) La diferència d’energia potencial és $\Delta U \approx 6,8 \cdot 10^9 \, \text{J}$.