Classificació i resolució d’un sistema d’equacions lineals amb paràmetre

Considerem el sistema d’equacions següent: $$\begin{cases}x – my + z = 1 \\ x + y + z = m + 2 \\ x + y + mz = 4\end{cases}$$

a) Classifiqueu el sistema segons els valors del paràmetre $m$.
b) Resoleu-lo quan sigui compatible indeterminat.

a) Classificació segons els valors de $m$:

Escrivim el sistema en forma matricial $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$:

$$A = \begin{pmatrix}
1 & -m & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & m
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \ m+2 \ 4 \end{pmatrix}$$

Utilitzem el teorema de Rouché-Fröbenius: el sistema és compatible si $\text{rang}(A) = \text{rang}([A|\mathbf{b}])$. Si el rang és 3, és compatible determinat; si és menor que 3, és compatible indeterminat; si els rangs són diferents, és incompatible.

Calculem el determinant de $A$:

$$\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \ 1 & m \end{vmatrix} – (-m) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \ 1 & m \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{vmatrix}$$

$$= 1 \cdot (m – 1) + m \cdot (m – 1) + 1 \cdot (1 – 1) = (m – 1) + m(m – 1) + 0 = (m – 1)(1 + m) = (m – 1)(m + 1) = m^2 – 1$$

Per tant, $\det(A) = m^2 – 1$.

• Cas 1: $m^2 – 1 \neq 0$, és a dir, $m \neq \pm 1$
  Si $m \neq \pm 1$, $\det(A) \neq 0$, per tant el rang de $A$ és 3. El sistema és compatible determinat (té una única solució).
• Cas 2: $m = 1$
  Si $m = 1$, $\det(A) = 1^2 – 1 = 0$, per tant el rang de $A$ pot ser menor que 3. Substituïm $m = 1$:

$$\begin{cases}
x – y + z = 1 \\
x + y + z = 3 \\
x + y + z = 4
\end{cases}$$

Matriu $A$:

$$A = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}$$

Reduïm:

$$\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix} \xrightarrow[F_2 \to F_2 – F_1]{F_3 \to F_3 – F_1}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 2 & 0
\end{pmatrix} \xrightarrow[F_3 \to F_3 – F_2]{}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$

Rang de $A$ = 2.

Matriu ampliada $[A|\mathbf{b}]$:

$$[A|\mathbf{b}] = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 1 & 4
\end{pmatrix} \xrightarrow[F_2 \to F_2 – F_1]{F_3 \to F_3 – F_1}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 0 & 3
\end{pmatrix} \xrightarrow[F_3 \to F_3 – F_2]{}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$

Rang de $[A|\mathbf{b}]$ = 3. Com que $\text{rang}(A) \neq \text{rang}([A|\mathbf{b}])$, el sistema és incompatible quan $m = 1$.

• Cas 3: $m = -1$
  Si $m = -1$, $\det(A) = (-1)^2 – 1 = 0$. Substituïm $m = -1$:

$$\begin{cases}
x + y + z = 1 \\
x + y + z = 1 \\
x + y – z = 4
\end{cases}$$

Matriu $A$:

$$A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & -1
\end{pmatrix}$$

Reduïm:

$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & -1
\end{pmatrix} \xrightarrow[F_2 \to F_2 – F_1]{F_3 \to F_3 – F_1}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -2
\end{pmatrix}$$

Rang de $A$ = 2.

Matriu ampliada:

$$[A|\mathbf{b}] = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & -1 & 4
\end{pmatrix} \xrightarrow[F_2 \to F_2 – F_1]{F_3 \to F_3 – F_1}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -2 & 3
\end{pmatrix}$$

Rang de $[A|\mathbf{b}]$ = 2. Com que $\text{rang}(A) = \text{rang}([A|\mathbf{b}]) = 2 < 3$, el sistema és compatible indeterminat quan $m = -1$.

Resum de la classificació:

• $m \neq \pm 1$: Compatible determinat.
• $m = 1$: Incompatible.
• $m = -1$: Compatible indeterminat.

b) Resolució quan el sistema és compatible indeterminat ($m = -1$):

El sistema amb $m = -1$:

$$\begin{cases}
x + y + z = 1 \\
x + y + z = 1 \\
x + y – z = 4
\end{cases}$$

Les dues primeres equacions són idèntiques, per tant el sistema es redueix a:

$$\begin{cases}
x + y + z = 1 \\
x + y – z = 4
\end{cases}$$

Sumem les dues equacions:

$$(x + y + z) + (x + y – z) = 1 + 4 \implies 2x + 2y = 5 \implies x + y = \frac{5}{2}$$

Substituïm $x + y = \frac{5}{2}$ a la primera equació:

$$x + y + z = 1 \implies \frac{5}{2} + z = 1 \implies z = 1 – \frac{5}{2} = -\frac{3}{2}$$

Llavors, $x + y = \frac{5}{2}$, i $z = -\frac{3}{2}$. Com que tenim dues equacions i tres incògnites, el sistema té infinites solucions. Parametritzem posant $y = t$:

$$x + t = \frac{5}{2} \implies x = \frac{5}{2} – t$$

Solució general:

$$(x, y, z) = \left( \frac{5}{2} – t, t, -\frac{3}{2} \right), \quad t \in \mathbb{R}$$

Resposta final:

Classificació:

• $m \neq \pm 1$: Compatible determinat.
• $m = 1$: Incompatible.
• $m = -1$: Compatible indeterminat.
• Solució quan $m = -1$:
  $$(x, y, z) = \left( \frac{5}{2} – t, t, -\frac{3}{2} \right), \quad t \in \mathbb{R}$$