Càlcul de la probabilitat de malaltia amb prova diagnòstica

Només $1$ de cada $1000$ adults es veu afectat per una malaltia per a la qual s’ha desenvolupat una prova diagnòstica. Si un individu té la malaltia, la prova dona positiu el $99\%$ de les vegades, i si no la té, dona positiu el $2\%$ de les vegades. Si apliquem la prova a un individu a l’atzar i dona positiu, quina és la probabilitat que l’individu tingui la malaltia?

Utilitzarem el $\textbf{teorema de Bayes}$ per calcular la probabilitat sol·licitada. Definim els esdeveniments i les probabilitats donades:

• $M$: L’individu té la malaltia. Probabilitat: $P(M) = \frac{1}{1000} = 0.001$.
• $M^c$: L’individu no té la malaltia. Probabilitat: $P(M^c) = 1 – P(M) = 0.999$.
• $P$: La prova dona positiu.
• Probabilitat de positiu si té la malaltia (sensibilitat): $P(P|M) = 0.99$.
• Probabilitat de positiu si no té la malaltia (fals positiu): $P(P|M^c) = 0.02$.

Volem trobar $P(M|P)$, la probabilitat que l’individu tingui la malaltia donat que la prova és positiva.

Pas 1: Aplicar el teorema de Bayes
El teorema de Bayes diu:

\begin{equation}
P(M|P) = \frac{P(P|M) \cdot P(M)}{P(P)},
\end{equation}

on $P(P)$ és la probabilitat total que la prova doni positiu, calculada com:

\begin{equation}
P(P) = P(P|M) \cdot P(M) + P(P|M^c) \cdot P(M^c).
\end{equation}

Pas 2: Calcular $P(P)$

Substituïm les probabilitats:

\begin{equation}
P(P) = (0.99 \cdot 0.001) + (0.02 \cdot 0.999).
\end{equation}

Calculem cada terme:

• $P(P|M) \cdot P(M) = 0.99 \cdot 0.001 = 0.00099$.
• $P(P|M^c) \cdot P(M^c) = 0.02 \cdot 0.999 = 0.01998$.

Suma:

\begin{equation}
P(P) = 0.00099 + 0.01998 = 0.02097.
\end{equation}

Pas 3: Calcular $P(M|P)$
Substituïm a la fórmula de Bayes:

\begin{equation}
P(M|P) = \frac{P(P|M) \cdot P(M)}{P(P)} = \frac{0.99 \cdot 0.001}{0.02097} = \frac{0.00099}{0.02097}.
\end{equation}

Realitzem la divisió:

\begin{equation}
P(M|P) = \frac{0.00099}{0.02097} \approx 0.04721.
\end{equation}

Pas 4: Expressió en fracció
Per obtenir una fracció exacta:

\begin{equation}
P(P|M) \cdot P(M) = 0.99 \cdot \frac{1}{1000} = \frac{99}{100000},
\end{equation}

\begin{equation}
P(P) = \frac{99}{100000} + \frac{1998}{100000} = \frac{2097}{100000}.
\end{equation}

Llavors:

\begin{equation}
P(M|P) = \frac{\frac{99}{100000}}{\frac{2097}{100000}} = \frac{99}{2097}.
\end{equation}

Simplifiquem $\frac{99}{2097}$:

• El màxim comú divisor de 99 i 2097 és 3 ($99 = 3 \cdot 33$, $2097 = 3 \cdot 699$).
• Dividim: $\frac{99 \div 3}{2097 \div 3} = \frac{33}{699}$.
• Simplifiquem més: $\frac{33 \div 3}{699 \div 3} = \frac{11}{233}$, i $11$ i $233$ són coprimers.

Així, $P(M|P) = \frac{11}{233}$.

Pas 5: Resposta numèrica
La probabilitat en forma decimal és:

\begin{equation}
\frac{11}{233} \approx 0.04721.
\end{equation}

Arrodonint a tres decimals, $P(M|P) \approx 0.047$.

Resposta final
La probabilitat que l’individu tingui la malaltia, donat que la prova dona positiu, és:

\begin{equation}
\boxed{\frac{11}{233}} \quad \text{o} \quad \boxed{0.047}.
\end{equation}