Problema 1-Sèrie 4. Examen Matemàtiques CCSS Selectivitat 2013

Un equip científic ha estudiat l’evolució de la població d’una petita illa de la Polinèsia. Com a conclusió, ha determinat que, per tal d’obtenir una bona estimació de la població, cal fer servir l’expressió:\[ P(t) = 400 + 18t – 6t^{3/2} \]on \( t \) indica els anys transcorreguts des del principi de l’estudi. Es demana:a. Determineu la població de l’illa quan va començar l’estudi, i passat un any. Quina ha estat la taxa de creixement en aquest període? [1 punt]b. Fins a quants anys després del començament de l’experiment va créixer la població de l’illa? Quin va ser el nombre màxim d’habitants.

Analitzem l’expressió de la població:\[ P(t) = 400 + 18t – 6t^{3/2} \]on \( t \) representa els anys des de l’inici de l’estudi. Resolem pas a pas les dues parts.

a. Població inicial, població després d’un any i taxa de creixement

1. Població inicial (\( t = 0 \)): Substituïm \( t = 0 \) a l’expressió:\[ P(0) = 400 + 18 \cdot 0 – 6 \cdot 0^{3/2} = 400 \]La població inicial és 400 habitants.

2. Població després d’un any (\( t = 1 \)): Substituïm \( t = 1 \):\[ P(1) = 400 + 18 \cdot 1 – 6 \cdot 1^{3/2} = 400 + 18 – 6 \cdot 1 = 400 + 18 – 6 = 412 \] La població després d’un any és 412 habitants.

3. Taxa de creixement en aquest període: La taxa de creixement es calcula com la variació relativa de la població respecte a la població inicial, expressada en percentatge:\[ \text{Taxa de creixement} = \frac{P(1) – P(0)}{P(0)} \cdot 100 = \frac{412 – 400}{400} \cdot 100 = \frac{12}{400} \cdot 100 = 3\% \]La taxa de creixement és 3%.

b. Temps de creixement i població màxima. Per determinar fins quan creix la població i quin és el màxim nombre d’habitants, hem de trobar el punt on la població deixa de créixer, és a dir, quan la derivada de \( P(t) \) respecte a \( t \) és zero (\( P'(t) = 0 \)), ja que això indica un màxim o mínim de la funció.1. **Derivada de \( P(t) \)**:Calculem la derivada de \( P(t) = 400 + 18t – 6t^{3/2} \):- La derivada de \( 400 \) és \( 0 \).- La derivada de \( 18t \) és \( 18 \).- La derivada de \( -6t^{3/2} \):\[ \frac{d}{dt} \left( -6t^{3/2} \right) = -6 \cdot \frac{3}{2} t^{1/2} = -9t^{1/2} \]Així, la derivada és:\[ P'(t) = 18 – 9t^{1/2} \]2. Temps en què la població deixa de créixer: Igualem la derivada a zero per trobar el punt crític:\[ 18 – 9t^{1/2} = 0 \]\[ 9t^{1/2} = 18 \]\[ t^{1/2} = 2 \]\[ t = 4 \]La població deixa de créixer als 4 anys. Per confirmar que és un màxim, analitzem el signe de \( P'(t) \):- Per \( t < 4 \), per exemple \( t = 1 \):\[ P'(1) = 18 – 9 \cdot 1^{1/2} = 18 – 9 = 9 > 0 \]La població creix.- Per \( t > 4 \), per exemple \( t = 9 \):\[ P'(9) = 18 – 9 \cdot 9^{1/2} = 18 – 9 \cdot 3 = 18 – 27 = -9 < 0 \]La població decreix.Això confirma que \( t = 4 \) és un màxim.

3. Població màxima: Substituïm \( t = 4 \) a \( P(t) \):\[ P(4) = 400 + 18 \cdot 4 – 6 \cdot 4^{3/2} \]Calculem \( 4^{3/2} \):\[ 4^{3/2} = (4^{1/2})^3 = 2^3 = 8 \]Així:\[ P(4) = 400 + 18 \cdot 4 – 6 \cdot 8 = 400 + 72 – 48 = 424 \]La població màxima és 424 habitants.

Resposta final

a.

• Població inicial (\( t = 0 \)): 400 habitants.

• Població després d’un any (\( t = 1 \)): 412 habitants.

• Taxa de creixement: 3%.

b.

• La població creix fins als 4 anys.

• Població màxima: 424 habitants.