Probabilitat de defectes en peces produïdes per dues màquines

Una empresa té dues màquines. La primera produeix el $40\%$ de les peces i l’altra la resta. Sigui $A$ l’esdeveniment “la peça és produïda per la primera màquina”, i $B$ “la peça és produïda per la segona màquina”. Sigui $D$ “la peça produïda és defectuosa”. La probabilitat que una peça tingui defectes és de $0.2$ si és de la primera màquina ($P(D|A) = 0.2$), i de $0.1$ si és de la segona ($P(D|B) = 0.1$).

(a) Quina és la probabilitat que una peça surti defectuosa?
(b) Si una peça és defectuosa, quina és la probabilitat que hagi estat produïda per la primera màquina?

Dades proporcionades:

• $P(A) = 0.4$ (primera màquina produeix el $40\%$ de les peces).
• $P(B) = 1 – P(A) = 0.6$ (segona màquina produeix el $60\%$ de les peces).
• $P(D|A) = 0.2$ (probabilitat que una peça sigui defectuosa si és de la primera màquina).
• $P(D|B) = 0.1$ (probabilitat que una peça sigui defectuosa si és de la segona màquina).

(a) Probabilitat que una peça surti defectuosa: $P(D)$

Utilitzem la llei de la probabilitat total, ja que la peça pot ser produïda per la primera màquina ($A$) o la segona ($B$):

$$P(D) = P(D|A) \cdot P(A) + P(D|B) \cdot P(B)$$

Substituïm:

$$P(D) = (0.2 \cdot 0.4) + (0.1 \cdot 0.6)$$

$$P(D) = 0.08 + 0.06 = 0.14$$

Resposta (a): La probabilitat que una peça surti defectuosa és $\boxed{0.14}$.

(b) Probabilitat que una peça defectuosa provingui de la primera màquina: $P(A|D)$

Utilitzem el teorema de Bayes:

$$P(A|D) = \frac{P(D|A) \cdot P(A)}{P(D)}$$

Substituïm els valors:

• $P(D|A) = 0.2$
• $P(A) = 0.4$
• $P(D) = 0.14$ (del càlcul anterior)

$$P(A|D) = \frac{0.2 \cdot 0.4}{0.14}$$

$$P(A|D) = \frac{0.08}{0.14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$$

Valor numèric:

$$\frac{4}{7} \approx 0.5714$$

Resposta (b): La probabilitat que una peça defectuosa hagi estat produïda per la primera màquina és $$\boxed{\dfrac{4}{7}}$ o aproximadament $0.5714$.

Resum de les respostes:

• (a) $\boxed{0.14}$
• (b) $\boxed{\dfrac{4}{7}}$