Càlcul de la derivada direccional

Calculeu la derivada direccional de la funció \( f(x, y, z) = x + y^2 + z^3 \) en el punt \( (1, 1, 1) \) segons la direcció del vector \( \vec{v} = (3, 0, 4) \).

1. Gradient de la funció: La derivada direccional es calcula com el producte escalar entre el gradient de \( f \) i el vector direccional unitari. Primer, calculem el gradient \( \nabla f \). Les derivades parcials són: – \( \frac{\partial f}{\partial x} = 1 \) – \( \frac{\partial f}{\partial y} = 2y \) – \( \frac{\partial f}{\partial z} = 3z^2 \) Així, el gradient és: \[ \nabla f(x, y, z) = (1, 2y, 3z^2) \] Avaluant-lo al punt \( (1, 1, 1) \): \[ \nabla f(1, 1, 1) = (1, 2 \cdot 1, 3 \cdot 1^2) = (1, 2, 3) \]

2. Vector direccional unitari: El vector \( \vec{v} = (3, 0, 4) \) indica la direcció, però hem de normalitzar-lo per obtenir el vector unitari \( \vec{u} \). La norma de \( \vec{v} \) és: \[ \|\vec{v}\| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] El vector unitari és: \[ \vec{u} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} = \left( \frac{3}{5}, \frac{0}{5}, \frac{4}{5} \right) = \left( \frac{3}{5}, 0, \frac{4}{5} \right) \]

3. Derivada direccional: La derivada direccional es calcula com: \[ D_{\vec{u}} f = \nabla f \cdot \vec{u} \] Fent el producte escalar: \[ \nabla f(1, 1, 1) \cdot \vec{u} = (1, 2, 3) \cdot \left( \frac{3}{5}, 0, \frac{4}{5} \right) \] \[ = 1 \cdot \frac{3}{5} + 2 \cdot 0 + 3 \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5} + 0 + \frac{12}{5} = \frac{3 + 12}{5} = \frac{15}{5} = 3 \]

Resposta final: La derivada direccional de \( f(x, y, z) = x + y^2 + z^3 \) en el punt \( (1, 1, 1) \) segons la direcció del vector \( \vec{v} = (3, 0, 4) \) és 3.