Sistema d’equacions pel mètode de Gauss

Resoleu el següent sistema d’equacions \begin{cases}x – 2y + z = 3 \\ 3x – 5y + 2z = 0 \\ 2x + 4y – z = 1\end{cases}

Donat el sistema d’equacions:

\begin{cases}x – 2y + z = 3 \\ 3x – 5y + 2z = 0 \\ 2x + 4y – z = 1\end{cases}

El podem expressar com la matriu augmentada:

$$\begin{bmatrix}
1 & -2 & 1 & | 3 \\
3 & -5 & 2 & | 0 \\
2 & 4 & -1 & | 1
\end{bmatrix}$$

Pas 1: Fer zeros sota el primer pivot

El primer pivot és 1. Fem zeros a la primera columna usant la primera fila:

\begin{equation}
F_2 \rightarrow F_2 – 3F_1
\end{equation}
\begin{equation}
F_3 \rightarrow F_3 – 2F_1
\end{equation}

Això dona:

$$\begin{bmatrix}
1 & -2 & 1 & | 3 \\
0 & 1 & -1 & | -9 \\
0 & 8 & -3 & | -5
\end{bmatrix}$$

Pas 2: Fer zeros sota el segon pivot

El segon pivot és 1 a la posició ( (2,2) ). Fem zero a la segona columna:

\begin{equation}
F_3 \rightarrow F_3 – 8F_2
\end{equation}

$$\begin{bmatrix}
1 & -2 & 1 & | 3 \\
0 & 1 & -1 & | -9 \\
0 & 0 & 5 & | 67
\end{bmatrix}$$

Sustitució Regressiva

Resolem el sistema triangular superior:

Resolent per $z$

\begin{equation}
5z = 67 \Rightarrow z = \frac{67}{5} = 13.4
\end{equation}

Resolent per $y$

\begin{equation}
y – z = -9
\end{equation}

Substituint $z = 13.4$:

\begin{equation}
y – 13.4 = -9 \Rightarrow y = -9 + 13.4 = 4.4
\end{equation}

Resolent per $x$

\begin{equation}
x – 2y + z = 3
\end{equation}

Substituint $y = 4.4$ i $z = 13.4$:

\begin{equation}
x – 2(4.4) + 13.4 = 3
\end{equation}

\begin{equation}
x – 8.8 + 13.4 = 3
\end{equation}

\begin{equation}
x + 4.6 = 3
\end{equation}

\begin{equation}
x = 3 – 4.6 = -1.6
\end{equation}

\section{Resultat Final}

\begin{equation}
\boxed{x = -1.6, \quad y = 4.4, \quad z = 13.4}
\end{equation}