Problema primer principi de termodinàmica

Un cilindre al qual va ajustat un pistó sense fregament conté $3$ mols de He gasós a $P = 1 \, \text{atm}$, i està introduït en un bany gran a la $T$ constant de $400$ K. Calcular el $Q$, $W$, $\Delta U$ i $\Delta H$ per al procés següent: a) Si la pressió $P$ augmenta de manera reversible fins a $5$ atm. b) Si s’assoleix el mateix estat final però el procés és irreversible.

Si el recipient que conté el gas està introduït en un bany, els processos que tinguin lloc seran processos isotèrmics ($dT = 0$). A més, i per ser un gas ideal (G.I.), l’energia interna $U$ és només funció de la temperatura, $U \equiv f(T)$, i per la definició:

\begin{equation}
C_V = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V
\end{equation}

Així, tenim:

\begin{equation}
dU = C_V dT \quad \Rightarrow \quad \Delta U = 0 \quad \text{en ambdós processos a) i b), ja que són isotèrmics.}
\end{equation}

De la mateixa manera, per ser un gas ideal, l’entalpia ( H ) és només funció de la temperatura, ( H \equiv f(T) ), i per la definició:

\begin{equation}
C_P = \left( \frac{\partial H}{\partial T} \right)_P
\end{equation}

Així, tenim:

\begin{equation}
dH = C_P dT \quad \Rightarrow \quad \Delta H = 0 \quad \text{també en ambdós processos a) i b), ja que són isotèrmics.}
\end{equation}

Pel que fa a la resta de les magnituds, utilitzant el primer principi de la termodinàmica:

\begin{equation}
\Delta U = Q + W \quad \Rightarrow \quad Q = -W
\end{equation}

Procés a)

Per ser un procés reversible, ( P_{\text{ext}} = P_{\text{int}} \pm dP ):

\begin{equation}
W = \int_{V_i}^{V_f} P_{\text{ext}} dV = -nRT \ln\left( \frac{V_f}{V_i} \right) = -16 \, \text{kJ}
\end{equation}

Per tant:

\begin{equation}
Q = -W = 16 \, \text{kJ}
\end{equation}

Procés b)

El procés és irreversible i, per aconseguir ( P_f = 5 \, \text{atm} ), aquesta ha de ser la ( P_{\text{ext}} ):

\begin{equation}
W = \int_{V_i}^{V_f} P_{\text{ext}} dV = -nRT \ln\left( \frac{V_f}{V_i} \right) = -39.9 \, \text{kJ}
\end{equation}

Per tant:

\begin{equation}
Q = -W = 39.9 \, \text{kJ}
\end{equation}

Observacions

• Si la temperatura es manté constant, la pressió augmenta perquè el volum disminueix.
• L’estat final dels dos processos isotèrmics és el mateix. Les funcions d’estat tenen el mateix valor en l’estat final, i per tant la seva variació és la mateixa en ambdós processos. Però $Q$ i $W$ depenen de la trajectòria del procés.
• El treball $W > 0$ en ambdós casos, és un treball de compressió que realitza el medi ambient sobre el sistema, i atès que l’energia interna del sistema no varia ($\Delta U = 0$), es produeix una transferència d’energia des del sistema cap al medi ambient, és a dir, $Q < 0$.