Problema estàtica

La figura mostra un braç (massa $m = 3.50$ kg) sostenint una bola de massa $M$. S’indiquen les forces que actuen i els seus respectius punts d’aplicació. Si el múscul deltoides, que s’insereix formant un angle $\alpha = 15.4^\circ$, pot suportar com a màxim una tensió $T = 2500$ N, calcular quin és el valor màxim de la massa $M$ que pot sostenir-se amb el braç estès i quin és el valor de la força de reacció $R$ indicada en la figura (mòdul i angle respecte a l’horitzontal).

1. Equilibri de moments respecte al punt \(O\): \[\sum M_O = 0 \Rightarrow -aT \sin \alpha + 2a mg + (2a + b) Mg = 0\]Des d’aquesta equació, aïllem la massa màxima \(M\):\[M = \frac{aT \sin \alpha – 2a mg}{(2a + b) g}\]Substituint els valors donats:- \( a = 0,15 \) m – \( b = 0,40 \) m – \( T = 2500 \) N – \( \alpha = 15,4^\circ \) – \( m = 3,5 \) kg – \( g = 9,8 \) m/s² \[M = \frac{(0,15)(2500) \sin 15,4^\circ – (0,3)(3,5)(9,8)}{(0,3 + 0,4)(9,8)}\]Fem el càlcul:\[M = \frac{(0,15)(2500)(0,265) – (0,3)(3,5)(9,8)}{(0,7)(9,8)}\]\[M = \frac{99,375 – 10,29}{6,86}\]\[M \approx \frac{89,085}{6,86} \approx 13 \text{ kg}\]

2. Equilibri de forces:

Eix \(X\): \[-T \cos \alpha + R \cos \theta = 0\]Aïllem \(R\):\[R = \frac{T \cos \alpha}{\cos \theta}\]

Eix \(Y\): \[T \sin \alpha – mg – Mg – R \sin \theta = 0\]\[R \sin \theta = T \sin \alpha – mg – Mg\]Calculem \(\theta\):\[\tan \theta = \frac{T \sin \alpha – mg – Mg}{T \cos \alpha}\]Substituint valors:\[\tan \theta = \frac{(2500 \sin 15,4^\circ) – (3,5 \times 9,8) – (13 \times 9,8)}{2500 \cos 15,4^\circ}\]\[\tan \theta = \frac{(2500 \times 0,265) – 34,3 – 127,4}{2500 \times 0,966}\]\[\tan \theta = \frac{662,5 – 161,7}{2415}\]\[\tan \theta = \frac{500,8}{2415} \approx 0,208\]\[\theta \approx \tan^{-1}(0,208) = 11,7^\circ\]Finalment, calculem \( R \):\[R = \frac{T \cos \alpha}{\cos \theta}\]\[R = \frac{2500 \cos 15,4^\circ}{\cos 11,7^\circ}\]\[R = \frac{2500 \times 0,966}{0,978}\]\[R = \frac{2415}{0,978} \approx 2469 \text{ N} \approx 2462 \text{ N}\]

Conclusió:

– La massa màxima \( M \) és 13 kg.

– L’angle \( \theta \) és 11,7°.

– La reacció \( R \) és 2462 N.