Resolució sistema d’equacions pel mètode de la matriu inversa

Resol aquest sistema pel mètode de la matriu inversa. Comencem amb el sistema donat: $$\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ x – y – 2z = -2 \\ 3x – 2y – 3z = -1 \end{cases}$$

✏️ Pas 1: Expressar el sistema com a matriu

Escrivim el sistema en forma matricial: $$A \cdot \vec{x} = \vec{b}$$

on: $$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & -2 \\ 3 & -2 & -3 \end{bmatrix}, \quad \vec{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{bmatrix}$$

✏️ Pas 2: Trobar la inversa de la matriu $A$

Si $A^{-1}$ és la inversa de $A$, llavors: $$\vec{x} = A^{-1} \cdot \vec{b}$$

📐 Pas 3: Càlcul de la inversa de $A$

Per trobar $A^{-1}$, podem utilitzar mètodes com la matriu adjunta o la matriu augmentada.

La inversa de $A$ és: $$A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$$

✏️ Pas 4: Multiplicar $A^{-1} \cdot \vec{b}$

$$\vec{x} = A^{-1} \cdot \vec{b} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{bmatrix}$$

Multipliquem:

• Primera fila: $2(1) + 0(-2) + 1(-1) = 2 – 1 = 1$
• Segona fila: $1(1) + (-1)(-2) + 1(-1) = 1 + 2 – 1 = 2$
• Tercera fila: $1(1) + 1(-2) + (-1)(-1) = 1 – 2 + 1 = 0$

Per tant: $$\vec{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \Rightarrow x = 1,\quad y = 2,\quad z = 0$$

✅ Solució final:

$$\begin{cases}x = 1 \\ y = 2 \\ z = 0 \end{cases}$$