Problema 2 examen de matemàtiques CCSS 25 de juny de 2020

Una companyia de mòbils va presentar fa un any un telèfon intel·ligent al preu de $750$ euros. Recentment, un estudi de mercat ha arribat a la conclusió que, amb aquest preu, compren el telèfon $2000$ clients al mes, i que la relació entre aquestes dues variables és lineal, de manera que per cada $10$ euros que s’incrementa el preu del mòbil, el compren $100$ clients menys, i a l’inrevés: per cada $10$ euros de descompte sobre el preu inicial de $750$ euros, el compren 100 clients més.

1. Deduïu que la funció que determina els ingressos mensuals de la companyia segons el preu del mòbil és $I(p) = –10p^2 + 9500p$.
2. Trobeu quin ha de ser el preu del mòbil per a obtenir ingressos, el preu del mòbil que dóna els ingressos mensuals més elevats i el valor d’aquests ingressos màxims.

El preu del mòbil serà $p = 750 + 10x$, on $x$ és el nombre de vegades que s’augmenta el preu de l’abonament en 10 euros. El nombre de mòbils que es vendran al mes serà $N = 2000 – 100x$.

L’ingrés mensual $I$ vindrà donat pel preu del mòbil multiplicat pel nombre de mòbils venuts. Si volem posar la funció d’ingressos en funció del preu del mòbil, caldria aïllar $x$ en funció del preu $p$:

$$p = 750 + 10x \rightarrow x = \frac{p – 750}{10}$$

Llavors, el nombre de mòbils en funció del preu $p$ serà:

$$N = 2000 – 100x = 2000 – 100 \left( \frac{p – 750}{10} \right) = 2000 – 10(p – 750) = 2000 – 10p + 7500 = -10p + 9500$$

Així, la funció d’ingressos serà:

$$I(p) = p \cdot N = p \cdot (-10p + 9500) = -10p^2 + 9500p$$

Obtenim, per tant, la paràbola $I(p) = -10p^2 + 9500p$.

Perquè hi hagi ingressos, cal que $I(p) > 0$:

$$-10p^2 + 9500p > 0 \rightarrow p(-10p + 9500) > 0$$

Això passa quan $0 < p < 950$. Per tant, si $p \geq 950$, $I(p) \leq 0$, i no tindríem ingressos. Si $p \leq 0$, tampoc no tindríem ingressos, però això no té sentit per la naturalesa del problema.

Per trobar l’ingrés màxim, derivem $I(p)$:

$$I'(p) = -20p + 9500$$

Igualem a zero per trobar el vèrtex:

$$-20p + 9500 = 0 \rightarrow p = 475 \, \text{€}$$

Comprovem si correspon a un màxim:

• Si $p < 475$, $I'(p) > 0$, per tant, $I(p)$ creix.
• Si $p > 475$, $I'(p) < 0$, per tant, $I(p)$ decreix.

Això confirma que $p = 475$ és un màxim. Finalment, calculem l’ingrés màxim:

$$I(475) = 475 \cdot (-10 \cdot 475 + 9500) = 475 \cdot (9500 – 4750) = 475 \cdot 4750 = 2.256.250 \, \text{€}$$

També es pot resoldre tenint en compte que la gràfica de la funció d’ingressos és una paràbola i trobem-ne el màxim.