Problema programació lineal. Empresa fabrica dos models d’una peça

Una empresa de materials per a cotxes fabrica dos models d’una peça determinada, que anomenarem A i B. Cada model es fabrica en una hora, mitjançant un procés que consta de dues fases. En la primera fase del procés s’hi destinen 5 treballadors, i en la segona, 12. Per fabricar cada model, en la primera fase es necessita un treballador per a cada peça. En canvi, en la segona fase es necessiten dos treballadors per al model A i 3 treballadors per al model B. El benefici que s’obté és de 40 € pel model A i 50 € pel model B. a) Determineu la funció objectiu i les restriccions, i dibuixeu la regió factible. b) Quantes peces de cada model per hora s’hauran de fabricar per tal que el benefici sigui màxim? Quin és aquest benefici màxim?

a. Funció objectiu, restriccions i regió factible

Anomenem $x$ el nombre de peces del model A i $y$ el nombre de peces del model B que es fabriquen per hora. El benefici per peça és de 40 € pel model A i 50 € pel model B, per tant, la funció objectiu (benefici total) és:

$$Z = 40x + 50y$$

Aquesta funció s’ha de maximitzar, subjecta a les restriccions del procés de fabricació.

Restriccions:

1. Primera fase: Hi ha 5 treballadors disponibles, i cada peça (tant A com B) necessita 1 treballador. Per tant:

$$x + y \leq 5$$

2. Segona fase: Hi ha 12 treballadors disponibles. Cada peça del model A necessita 2 treballadors, i cada peça del model B necessita 3 treballadors. Per tant:

$$2x + 3y \leq 12$$

3. Restriccions de no negativitat: No es poden fabricar un nombre negatiu de peces:

$$x \geq 0, \quad y \geq 0$$

Regió factible:

Per dibuixar la regió factible, representem les restriccions com a rectes en el pla $(x, y)$:

• Restricció 1: $x + y \leq 5$
• Si $x = 0$, $y = 5$ → punt $(0, 5)$.
• Si $y = 0$, $x = 5$ → punt $(5, 0)$.
• Restricció 2: $2x + 3y \leq 12$
• Si $x = 0$, $3y = 12$, $y = 4$ → punt $(0, 4)$.
• Si $y = 0$, $2x = 12$, $x = 6$ → punt $(6, 0)$.

A més, tenim les restriccions $x \geq 0$ i $y \geq 0$, que ens limiten al primer quadrant.

Ara trobem els punts d’intersecció de les rectes $x + y = 5$ i $2x + 3y = 12$:

$$x + y = 5 \quad \text{(1)}$$

$$2x + 3y = 12 \quad \text{(2)}$$

De (1), $x = 5 – y$. Substituint a (2):

$$2(5 – y) + 3y = 12 \rightarrow 10 – 2y + 3y = 12 \rightarrow y = 2$$

Substituint $y = 2$ a (1):

$$x + 2 = 5 \rightarrow x = 3$$

Per tant, les rectes es tallen al punt $(3, 2)$.

Els vèrtexs de la regió factible són:

• $(0, 0)$: origen.
• $(0, 4)$: quan $x = 0$, $2x + 3y = 12$.
• $(3, 2)$: intersecció de $x + y = 5$ i $2x + 3y = 12$.
• $(5, 0)$: quan $y = 0$, $x + y = 5$.

La regió factible és el polígon amb vèrtexs $(0, 0)$, $(0, 4)$, $(3, 2)$, $(5, 0)$, incloent-hi els costats.

b. Nombre de peces per maximitzar el benefici i benefici màxim

Per trobar el benefici màxim, avaluem la funció objectiu $Z = 40x + 50y$ als vèrtexs de la regió factible:

• En $(0, 0)$: $Z = 40 \cdot 0 + 50 \cdot 0 = 0$.
• En $(0, 4)$: $Z = 40 \cdot 0 + 50 \cdot 4 = 200$.
• En $(3, 2)$: $Z = 40 \cdot 3 + 50 \cdot 2 = 120 + 100 = 220$.
• En $(5, 0)$: $Z = 40 \cdot 5 + 50 \cdot 0 = 200$.

El benefici màxim és $220 \, \text{€}$, i s’assoleix quan $x = 3$ i $y = 2$.

Per tant, s’han de fabricar 3 peces del model A i 2 peces del model B per hora, i el benefici màxim és 220 €.