Resolució sistema d’equacions pel mètode de Gauss

Resolem el sistema pel mètode de Gauss: \begin{equation}\begin{cases}x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + 5z = 11 \\ x – 5y + 6z = 29\end{cases} \end{equation}

Convertim a matriu ampliada:

\begin{equation}
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 2 \\
2 & 3 & 5 & 11 \\
1 & -5 & 6 & 29
\end{array}
\right]
\end{equation}

Fem $F_2 \leftarrow F_2 – 2F_1$ i $F_3 \leftarrow F_3 – F_1$:

\begin{equation}
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 3 & 7 \\
0 & -6 & 5 & 27
\end{array}
\right]
\end{equation}

Ara fem $F_3 \leftarrow F_3 + 6F_2$:

\begin{equation}
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 3 & 7 \\
0 & 0 & 23 & 69
\end{array}
\right]
\end{equation}

A partir de la fila 3:

\begin{equation}
23z = 69 \Rightarrow z = 3
\end{equation}

Substituïm a la fila 2:

\begin{equation}
y + 3z = 7 \Rightarrow y + 9 = 7 \Rightarrow y = -2
\end{equation}

Substituïm a la fila 1:

\begin{equation}
x + y + z = 2 \Rightarrow x – 2 + 3 = 2 \Rightarrow x = 1
\end{equation}

Solució del sistema:
\begin{equation}
\boxed{x = 1, \quad y = -2, \quad z = 3}
\end{equation}