Examen Selectivitat Illes Balears [2014SetB3]

Segons un estudi sobre l’evolució de la població d’una determinada espècie protegida, es pot establir que el nombre d’individus d’aquesta espècie, durant els propers anys, ve determinat per la funció $$f(t) = \frac{50t + 500}{t + 1}$$

on $t$ és el nombre d’anys transcorreguts.

a) Calculeu la població actual i la prevista d’aquí a nou anys.
b) Determinau els períodes de temps en què la població augmentarà i els períodes en què disminuirà.
c) Estudiu si, segons la funció donada, la població tendirà a estabilitzar-se en algun valor i, en cas afirmatiu, determinau aquest valor.

a) Calcular la població actual i la prevista d’aquí a nou anys.

Població actual (quan $t = 0$):

Substituïm $t = 0$ a la funció: $$f(0) = \frac{50(0) + 500}{0 + 1} = \frac{500}{1} = 500$$

Per tant, la població actual és $500$ individus.

Població d’aquí a $9$ anys (quan $t = 9$):

Substituïm $t = 9$ a la funció: $$f(9) = \frac{50(9) + 500}{9 + 1} = \frac{450 + 500}{10} = \frac{950}{10} = 95$$

Per tant, la població prevista d’aquí a $9$ anys és $95$ individus.

b) Determinar els períodes de temps en què la població augmentarà i els períodes en què disminuirà.

Per saber si la població augmenta o disminueix, hem de calcular la derivada de la funció $f(t)$ respecte a $t$ i analitzar el signe de la derivada.

Derivada de la funció $f(t)$:

La funció és una fracció, així que utilitzem la regla de derivació de fraccions (regla del quocient): $$f'(t) = \frac{(t + 1) \cdot \frac{d}{dt}(50t + 500) – (50t + 500) \cdot \frac{d}{dt}(t + 1)}{(t + 1)^2}$$

On:

• La derivada de $50t + 500$ és $50$.
• La derivada de $t + 1$ és $1$.

Substituïm això: $$f'(t) = \frac{(t + 1)(50) – (50t + 500)(1)}{(t + 1)^2}$$ $$f'(t) = \frac{50(t + 1) – (50t + 500)}{(t + 1)^2}$$ $$f'(t) = \frac{50t + 50 – 50t – 500}{(t + 1)^2}$$ $$f'(t) = \frac{-450}{(t + 1)^2}$$

Anàlisi del signe de $f'(t)$:

Com que el denominador $(t + 1)^2$ és sempre positiu (perquè un quadrat és sempre positiu), el signe de $f'(t)$ depèn del numerador $-450$, que és negatiu. Per tant, la derivada $f'(t)$ és sempre negativa per a tots els $t \geq 0$.

Això vol dir que la població disminueix en tot moment. No hi ha cap moment en què la població augmenti, segons aquesta funció.

c) Estudiar si la població tendirà a estabilitzar-se en algun valor i, en cas afirmatiu, determinar aquest valor.

Per saber si la població tendeix a estabilitzar-se, calculem el límit de $f(t)$ quan tt tendeix a l’infinit. $$\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{50t + 500}{t + 1}$$

Dividim el numerador i el denominador per $t$: $$\lim_{t \to \infty} \frac{50t + 500}{t + 1} = \lim_{t \to \infty} \frac{50 + \frac{500}{t}}{1 + \frac{1}{t}}$$

Quan $t \to \infty$, $\frac{500}{t} \to 0$ i $\frac{1}{t} \to 0$, així que obtenim: $$\lim_{t \to \infty} f(t) = \frac{50 + 0}{1 + 0} = 50$$

Per tant, la població tendirà a $50$ individus a mesura que passin els anys. La població s’estabilitzarà en aquest valor.

Resposta final:

• a) La població actual és $500$ individus, i la població prevista d’aquí a $9$ anys és $95$ individus.
• b) La població disminuirà durant tot el temps.
• c) La població tendirà a estabilitzar-se en $50$ individus.