Problema sobre càlcul impuls d’una cadena

Una cadena de massa \(m = 1 \, \text{kg}\) i longitud \(l = 1.4 \, \text{m}\) penja d’un fil vermell i fregà amb un dels extrems la superfície d’una taula comprada a l’IKEA. El fil vermell es trenca i la cadena cau sobre la taula que hem comprat en l’IKEA. Trobeu l’impuls total que la cadena transmet a la taula.

Considerem un element de longitud \(dy\) de la cadena, situat a una alçada \(y\) sobre la taula. La massa d’aquest element és \(dm = (m/l) \, dy\), i la seva velocitat en l’instant just abans del xoc amb la taula es determina mitjançant la fórmula de la velocitat de caiguda lliure d’un cos des d’una alçada \(y\): \(v = \sqrt{2gy}\). Després del cop, aquest element es trobarà en repòs, per tant, l’impuls transmès a la taula és \(dp = (m/l) \cdot \sqrt{2gy} \, dy\).Integrant per tota la longitud de la cadena des de 0 fins a \(l\), trobem l’impuls total que la cadena transmet a la taula al caure:\[p = \int_0^l \frac{m}{l} \sqrt{2gy} \, dy = \frac{m}{l} \sqrt{2g} \int_0^l \sqrt{y} \, dy = \frac{2m}{3} \sqrt{2gl}\]Ara substituïm pels valors donats pel problema, obtenim: \(p = 3.5 \, \text{kg·m/s}\)