Problema sobre optimització geometria

Volem trobar les coordenades dels punts de la paràbola \( y^2 = 4x \) que tenen distància mínima al punt \( A = (4, 0) \).

1. Reescrivim l’equació de la paràbola. La paràbola està donada per:\[y^2 = 4x \Rightarrow x = \frac{y^2}{4}\]Així, qualsevol punt \( P \) de la paràbola es pot expressar com:\[P(y) = \left( \frac{y^2}{4}, y \right)\]

2. Distància entre \( P(y) \) i el punt \( A = (4, 0) \) La distància entre dos punts és:\[D(y) = \sqrt{\left( \frac{y^2}{4} – 4 \right)^2 + y^2}\]Com que només volem minimitzar la distància, podem minimitzar el **quadrat** de la distància (per evitar l’arrel):\[D^2(y) = \left( \frac{y^2}{4} – 4 \right)^2 + y^2\]

3. Derivem per trobar el mínim. Definim:\[f(y) = \left( \frac{y^2}{4} – 4 \right)^2 + y^2\]Derivem respecte a \( y \):\[f'(y) = 2\left( \frac{y^2}{4} – 4 \right) \cdot \frac{y}{2} + 2y = \left( \frac{y^2}{4} – 4 \right)y + 2y\]\[f'(y) = y \left( \frac{y^2}{4} – 4 + 2 \right) = y \left( \frac{y^2}{4} – 2 \right)\]

4. Busquem els punts crítics \[f'(y) = 0 \Rightarrow y = 0 \quad \text{o} \quad \frac{y^2}{4} = 2 \Rightarrow y^2 = 8 \Rightarrow y = \pm 2\sqrt{2}\]

5. Trobar els punts a la paràbola. Per cada \( y \), calculem \( x = \frac{y^2}{4} \):- Per \( y = 0 \): \( x = 0 \) → punt: \( (0, 0) \)- Per \( y = \pm 2\sqrt{2} \): \( y^2 = 8 \Rightarrow x = 2 \) → punts: \( (2, 2\sqrt{2}) \) i \( (2, -2\sqrt{2}) \)

6. Quina és la distància mínima? Calculem les distàncies:- \( D((0, 0), (4, 0)) = 4 \)- \( D((2, \pm 2\sqrt{2}), (4, 0)) = \sqrt{(2)^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 8} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \)

Conclusió: Els punts de la paràbola \( y^2 = 4x \) que tenen distància mínima al punt \( A(4, 0) \) són:\[(2, 2\sqrt{2}) \quad \text{i} \quad (2, -2\sqrt{2})\]