Problema de matemàtiques de dues variables

La superfície que voreja una copa de vodka té la següent expressió: \(z = x^2 + y^2\) amb una alçada de 5 cm. Sabem que el rus estàndard comença a estar borratxo quan ha begut una ampolla de 750 ml de vodka, trobeu el nombre de copetes de vodka que hauria de prendre el nostre rus estàndard per emborratxar-se, suposant que les copes s’omplen totalment de vodka.

El volum de la copa serà la integral de la següent funció:\[f(x, y) = 5 – z = 5 – (x^2 + y^2)\]Llavors el volum que haurem de calcular el farem de la següent manera:\[V = \iint_D (5 – (x^2 + y^2)) \, dx \, dy\]No podem escriure de la següent manera:\[V = \iint_D (5) \, dx \, dy – \iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy = V_1 – V_2\]Separem els volums \(V_1\) i \(V_2\)\[V_1 = \iint_D (5) \, dx \, dy = 5 \text{àrea}(D) = 25\pi\]\[V_2 = \iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy\]els passem a coordenades polars i obtenim:\[V_2 = \int_0^{2\pi} \left( \int_0^{\sqrt{5}} r^2 r \, dr \right) d\theta = \left[ 2\pi \frac{r^4}{4} \right]_0^{\sqrt{5}} = 12.5\pi\]Finalment el volum és:\[V = V_1 – V_2 = 25\pi – 12.5\pi = 12.5\pi \, \text{cm}^3\]Llavors per beure una ampolla de vodka que conté 750 cm³ el rus estàndard haurà de prendre \(\frac{750}{12.5\pi} \approx 19.1\) copetes de vodka.