Moment inèrcia sistema format per vareta i masses

Tres pilotes de massa \(m_1\), \(m_2\) i \(m_3\) estan unides amb una vareta de massa despreciable sent la distància entre elles igual a \(l\). (a) Calculeu el moment d’inèrcia del sistema respecte a un eix que passa per \(m_2\) i és perpendicular a la vareta. (b) Demostreu que el moment d’inèrcia respecte a un eix perpendicular a la vareta que passi per \(m_1\) difereix del de l’anterior en la quantitat \((4m_3 – m_1)l^2\).

(a) El moment d’inèrcia respecte a l’eix que passa per la massa \(m_2\) serà\[I_0 = m_1 l^2 + m_3 l^2 = (m_1 + m_3) l^2\]

(b) El moment d’inèrcia respecte a l’eix que passa per la massa \(m_1\) és\[I_2 = m_2 l^2 + m_3 (2l)^2 = m_2 l^2 + 4m_3 l^2\]de tal manera que difereix de l’anterior en la quantitat:\[\Delta I = (m_2 l^2 + 4m_3 l^2) – (m_1 + m_3) l^2 = (m_2 – m_1 + 3m_3) l^2\]D’on es dedueix que per obtenir l’expressió buscada cal que es compleixi \(m_2 = m_3\). Amb aquesta condició deduïm\[\Delta I = (4m_3 – m_1) l^2\]