Potència i parell motor

Un motor acciona una màquina, de manera que triga 3 segons a arrencar des del repòs fins a girar a 1500 min⁻¹. Si el moment d’inèrcia total associat a l’eix del motor és de 100 kg·m², quina és la potència desenvolupada pel motor? I el parell motor?

\[\omega_1 = 0\]\[\omega_2 = 1500 \, \text{min}^{-1} \cdot \frac{2\pi}{60} = 157{,}1 \, \text{rad/s}\]\[I = 100 \, \text{kg·m}^2 t = 3 \, \text{s}\]El treball fet per les forces no conservatives és igual a la variació d’energies cinètiques:\[W = \Delta E_c\]\[W_{1 \rightarrow 2} = E_{c2} – E_{c1} = \frac{1}{2} \omega_2^2 I – \frac{1}{2} \omega_1^2 I\]Per tant:\[W_{1 \rightarrow 2} = \frac{1}{2} \cdot I \cdot (\omega_2^2 – \omega_1^2) = \frac{1}{2} \cdot 100 \, \text{kg/m}^2 \cdot ((157{,}1 \, \text{rad/s})^2 – 0) = 1\,233\,701 \, \text{J}\]Ja podem calcular la potència desenvolupada pel motor:\[P = \frac{W}{t} = \frac{1\,233\,701 \, \text{J}}{3 \, \text{s}} = 411\,233 \, \text{W} = 411{,}2 \, \text{kW}\]El parell motor el calcularem a partir de:\[W = \Gamma \cdot \varphi\]Llavors, a partir de les equacions del moviment circular:\[\varphi = \varphi_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2\]\[\alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{157{,}1 \, \text{rad/s}}{3 \, \text{s}} = 52{,}36 \, \text{rad/s}^2\]\[\varphi = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot 52{,}36 \cdot (3)^2 = 235{,}6 \, \text{rad}\]El parell motor serà:\[\Gamma = \frac{W}{\varphi} = \frac{1\,233\,701 \, \text{J}}{235{,}6 \, \text{rad}} = 5236 \, \text{N·m}\]