Programació lineal. Empresa de gelats

Una empresa fabrica dos tipus de gelats, G1 i G2. En el procés d’elaboració utilitza dos tipus d’ingredients, A i B. Disposa de $90$ kg de l’ingredient A i de $150$ kg de l’ingredient B. Per a fabricar una capsa de gelats del tipus G1, empra $1$ kg de l’ingredient A i $2$ kg de l’ingredient B. Per a fabricar una capsa de gelats del tipus G2, empra $2$ kg de l’ingredient A i $1$ kg de l’ingredient B. Si la capsa de gelats del tipus G1 es ven a $10$ euros i la del tipus G2 es ven a $15$ euros, quantes capses de gelats de cada tipus cal fabricar per a maximitzar els ingressos?

1️⃣ Definició del problema

Definim les variables:

• $x$ = nombre de capses de gelat G1 fabricades
• $y$ = nombre de capses de gelat G2 fabricades

Funció objectiu (maximitzar ingressos)

$$Z = 10x + 15y$$

on 10 € és el preu de cada G1 i 15 € el preu de cada G2.

Restriccions de disponibilitat d’ingredients

1. Limitació de l’ingredient A: $1x + 2y \leq 90$
2. Limitació de l’ingredient B: $2x + 1y \leq 150$
3. Restriccions de no-negativitat: $x \geq 0, \quad y \geq 0$

Sí! Resoldré el problema pas a pas utilitzant la tècnica gràfica i el mètode algebraic de resolució d’un sistema d’equacions.

2️⃣ Representació gràfica de les restriccions

Per representar les línies de restricció al pla, resolc cadascuna per a $y$:

1. $x + 2y = 90$ → Expressió en termes de $y$: $y = \frac{90 – x}{2}$
   • Si $x = 0$, llavors $y = 45$ (punt $(0, 45)$).
   • Si $y = 0$, llavors $x = 90$ (punt $(90, 0)$).
2. $2x + y = 150$ → Expressió en termes de $y$: $y = 150 – 2x$
   • Si $x = 0$, llavors $y = 150$ (punt $(0, 150)$).
   • Si $y = 0$, llavors $x = 75$ (punt $(75, 0)$).

Representació gràfica:

• Les línies blava i verda representen les restriccions.
• La zona grisa és la regió factible, on es compleixen totes les restriccions.
• El punt vermell (70,10) és la solució òptima.

3️⃣ Resolució algebraica (punt d’intersecció)

La solució òptima es troba en la intersecció de les dues restriccions: $$\begin{cases} x + 2y = 90 \\ 2x + y = 150 \end{cases}$$

Pas 1: Multiplicar la primera equació per 2 per igualar coeficients

$$2x + 4y = 180$$

Pas 2: Restar la segona equació

$$(2x + 4y) – (2x + y) = 180 – 150$$ $$3y = 30 y=10y = 10$$

Pas 3: Substituir $y = 10$ a la primera equació

$$x + 2(10) = 90$$ $$x + 20 = 90$$ $$x = 70$$

Per tant, la solució és $x = 70$, $y = 10$.

4️⃣ Càlcul de l’ingrés màxim

Substituïm a la funció objectiu: $$Z = 10(70) + 15(10)$$ $$Z = 700 + 150 = 850$$