Operacions amb polinomis i factoritzacio

Donats els polinomis: \[P(x) = x + 3, \quad Q(x) = x – 4, \quad R(x) = x + 2\] a) Calculeu \( T(x) = P(x)\cdot Q(x) + P(x)\cdot R(x) \) i factoritza’l b) Troba totes les arrels del següent polinomi: $P(X) = x^4-10x^3+35x^2-50x+24$

a) Donats els polinomis: \[P(x) = x + 3, \quad Q(x) = x – 4, \quad R(x) = x + 2\]

Pas 1: Calcular \( T(x) = P(x)Q(x) + P(x)R(x) \)

1. Multipliquem \( P(x) \) per \( Q(x) \): \[ P(x)Q(x) = (x + 3)(x – 4) \] Aplicant la distributiva: \[ x^2 – 4x + 3x – 12 = x^2 – x – 12 \]

2. Multipliquem \( P(x) \) per \( R(x) \): \[ P(x)R(x) = (x + 3)(x + 2) \] Aplicant la distributiva: \[ x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6 \]

3. Sumem els resultats: \[ T(x) = (x^2 – x – 12) + (x^2 + 5x + 6) \] \[ T(x) = 2x^2 + 4x – 6 \]

Pas 2: Factoritzar \( T(x) \). Factoritzem \( 2x^2 + 4x – 6 \):

1. Treure el factor comú \( 2 \): \[ T(x) = 2(x^2 + 2x – 3) \]

2. Factoritzem \( x^2 + 2x – 3 \): Busquem dos nombres que multiplicats donin \( -3 \) i sumats donin \( 2 \), que són \( 3 \) i \( -1 \). \[ x^2 + 2x – 3 = (x + 3)(x – 1) \]

3. Substituïm a \( T(x) \): \[ T(x) = 2(x + 3)(x – 1) \]

Resposta final: \[T(x) = 2(x + 3)(x – 1)\] Aquesta és la forma factoritzada del polinomi.

b) Pas 1: Aplicar la Regla de Ruffini amb \( x = 1 \) Provem \( x = 1 \) com a possible arrel del polinomi: \[P(x) = x^4 – 10x^3 + 35x^2 – 50x + 24\]Fem la divisió de Ruffini: \[\begin{array}{r|rrrrr} 1 & 1 & -10 & 35 & -50 & 24 \\ & & 1 & -9 & 26 & -24 \\\hline & 1 & -9 & 26 & -24 & 0\end{array}\]El residu és $0$, per tant, \( x – 1 \) és un factor. El polinomi resultant és: \[Q(x) = x^3 – 9x^2 + 26x – 24\]

Pas 2: Aplicar la Regla de Ruffini amb \( x = 2 \) Ara treballem amb \( Q(x) = x^3 – 9x^2 + 26x – 24 \) i provem \( x = 2 \): \[\begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & -9 & 26 & -24 \\ & & 2 & -14 & 24 \\\hline & 1 & -7 & 12 & 0\end{array}\]El residu és $0$, així que \( x – 2 \) és un altre factor. El polinomi resultant és:\[Q(x) = x^2 – 7x + 12\]

Pas 3: Factorització de \( x^2 – 7x + 12 \) Factoritzem l’expressió quadràtica:\[x^2 – 7x + 12 = (x – 3)(x – 4)\]

Solució: Factoritzant completament el polinomi original:\[P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)\]Les arrels són:\[x = 1, 2, 3, 4\]