Factorització de polinomi

Factoritzeu el següent polinomi: $$P(x) = x^4 + 5x^3 + 2x^2 – 20x + 24$$

Pas 1: Trobar una arrel amb la Regla de Ruffini

Busquem una arrel racionals entre els divisors de $24$: $$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$$

Provem $x = -2$:

\begin{equation} (-2)^4 + 5(-2)^3 + 2(-2)^2 – 20(-2) + 24 = 16 – 40 + 8 + 40 + 24 = 0 \end{equation}

Com que P(−2)=0P(-2) = 0, sabem que (x+2)(x + 2) és un factor de P(x)P(x).

Pas 2: Divisió de $P(x)$ entre $(x+2)$

Apliquem la divisió sintètica amb $x = -2$.

Els coeficients de $P(x)$ són: $1, 5, 2, -20, 24$

Després de la divisió, obtenim:

\begin{equation} P(x) = (x + 2) (x^3 + 3x^2 – 4x – 12) \end{equation}

Pas 3: Factoritzar $x^3 + 3x^2 – 4x – 12$

Busquem una nova arrel entre els divisors de -$12$: $$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$$

Provem $x = -3$:

\begin{equation} (-3)^3 + 3(-3)^2 – 4(-3) – 12 = -27 + 27 + 12 – 12 = 0 \end{equation}

Com que $P(-3) = 0$, sabem que $(x + 3)$ és un factor de $x^3 + 3x^2 – 4x – 12$.

Després d’una nova divisió, obtenim:

\begin{equation} x^3 + 3x^2 – 4x – 12 = (x + 3)(x^2 – 4) \end{equation}

Pas 4: Factoritzar $x^2 – 4$

Sabem que:

\begin{equation} x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2) \end{equation}

Pas 5: Factorització final

Finalment, substituïm tots els factors:

\begin{equation} P(x) = (x + 2)(x + 3)(x – 2)(x + 2) \end{equation}

\begin{equation} P(x) = (x + 2)^2 (x + 3)(x – 2) \end{equation}

Resposta final

$$\boxed{\mathbf{P(x) = (x + 2)^2 (x + 3)(x – 2)}}$$