Radi òrbita, velocitat angular i període moviment electró

En presencia d’un camp magnètic de $0.2$ T, un electró segueix una òrbita circular. Si té una energia cinètica de $25$ keV, calculeu el radi de l’òrbita, la velocitat angular i el període del moviment. ($1$ keV $= 103$ eV, $1$ eV és l’energia de la càrrega fonamental $e$ a un potencial de $1$ V.)

1. Dades donades

• Camp magnètic: $B = 0.2$ T
• Energia cinètica: $E_k = 25$ keV $= $25 \times 10^3$ eV
• Càrrega de l’electró: $e = 1.602 \times 10^{-19}$ C
• Massa de l’electró: $m_e = 9.109 \times 10^{-31}$ kg

2. Càlcul de la velocitat de l’electró

L’energia cinètica d’una partícula es pot expressar com: $$E_k = \frac{1}{2} m v^2$$

D’aquí podem trobar la velocitat $v$: $$v = \sqrt{\frac{2 E_k}{m_e}}$$

Convertim l’energia cinètica a joules: $$E_k = 25 \times 10^3 \times 1.602 \times 10^{-19} \quad \text{J}$$ $$E_k = 4.005 \times 10^{-15} \text{ J}$$

Ara calculem la velocitat: $$v = \sqrt{\frac{2 \times 4.005 \times 10^{-15}}{9.109 \times 10^{-31}}}$$ $$v \approx 9.38 \times 10^7 \text{ m/s}$$

3. Radi de l’òrbita

Un electró en un camp magnètic segueix una trajectòria circular, on la força centrípeta és proporcionada per la força de Lorentz: $$F = q v B = \frac{m v^2}{r}$$

D’aquí podem trobar el radi $r$: $$r = \frac{m v}{q B}$$

Substituïm els valors: $$r = \frac{(9.109 \times 10^{-31} \text{ kg}) (9.38 \times 10^7 \text{ m/s})}{(1.602 \times 10^{-19} \text{ C}) (0.2 \text{ T})}$$ $$r \approx 2.67 \times 10^{-3} \text{ m} = 2.67 \text{ mm}$$

4. Velocitat angular

La velocitat angular $\omega$ es defineix com: $$\omega = \frac{v}{r}$$

Substituïm els valors: $$\omega = \frac{9.38 \times 10^7}{2.67 \times 10^{-3}}$$ $$\omega \approx 3.52 \times 10^{10} \text{ rad/s}$$

5. Període del moviment

El període $T$ del moviment circular es relaciona amb la velocitat angular: $$T = \frac{2\pi}{\omega}$$

Substituïm els valors: $$T = \frac{2\pi}{3.52 \times 10^{10}}$$ $$T \approx 1.78 \times 10^{-10} \text{ s} = 0.178 \text{ ns}$$

Resultats finals

• Radi de l’òrbita: $\mathbf{2.67}$ mm
• Velocitat angular: $\mathbf{3.52 \times 10^{10}}$ rad/s
• Període del moviment: $\mathbf{0.178}$ ns