Càlculs relacionats amb el coeficient Hall del coure

El coeficient Hall del coure és $-6 \times 10^{-11} \, \text{V} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1} \cdot \text{T}^{-1}$. a) Estimeu la densitat de portadors de càrrega (electrons) del coure. b) Si la densitat de massa del coure és de $8.9 \times 10^3 \, \text{kg/m}^3$ i la massa de cada àtom és de $1.06 \times 10^{-25} \, \text{kg}$, amb quants electrons contribueix cada àtom, en mitjana? c)Quina fracció mitjana del total dels $29$ electrons d’un àtom de coure es queden lliures?

(a) Estimació de la densitat de portadors de càrrega del coure

El coeficient de Hall ($R_H$) per a un material condueix a la relació següent entre la densitat de portadors de càrrega ($n$) i el coeficient de Hall: $$R_H = \frac{1}{n e}$$

On:

• $R_H$ és el coeficient de Hall del coure,
• $n$ és la densitat de portadors de càrrega (electrons),
• $e$ és la càrrega elemental de l’electró ($e = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}$).

Podem aïllar $n$ per calcular la densitat de portadors de càrrega: $$n = \frac{1}{R_H e}$$

Substituïm els valors: $$n = \frac{1}{(-6 \times 10^{-11}) \times (1.602 \times 10^{-19})}$$ $$n \approx 1.04 \times 10^{28} \, \text{electrons/m}^3$$

Així que la densitat de portadors de càrrega del coure és aproximadament $1.04 \times 10^{28} \, \text{electrons/m}^3$.

(b) Quants electrons contribueix cada àtom, en mitjana?

Per determinar quants electrons lliures contribue cada àtom de coure, utilitzarem la densitat de portadors de càrrega $n$ i la densitat de massa del coure $\rho$.

1. Densitat de massa del coure:
   $\rho = 8.9 \times 10^3 \, \text{kg/m}^3$.
2. Massa de cada àtom de coure:
   $m_{\text{àtom}} = 1.06 \times 10^{-25} \, \text{kg}$.

La quantitat d’àtoms per metre cúbic es pot obtenir com: $$\text{Nombre d’àtoms per m}^3 = \frac{\rho}{m_{\text{àtom}}}$$

Substituïm els valors: $$\text{Nombre d’àtoms per m}^3 = \frac{8.9 \times 10^3}{1.06 \times 10^{-25}} = 8.4 \times 10^{28} \, \text{àtoms/m}^3$$

Ara, per obtenir la quantitat d’electrons lliures per àtom, dividim la densitat de portadors de càrrega per la densitat d’àtoms: $$\text{Electrons per àtom} = \frac{n}{\text{Nombre d’àtoms per m}^3} = \frac{1.04 \times 10^{28}}{8.4 \times 10^{28}} \approx 1.24$$

Així, cada àtom de coure contribue, en mitjana, aproximadament $1.24$ electrons lliures.

(c) Quina fracció mitjana del total dels $29$ electrons d’un àtom de coure es queden lliures?

El coure té 29 electrons en total per àtom (ja que el nombre atòmic del coure és 29). Per calcular la fracció d’electrons lliures, utilitzem el resultat del punt anterior, on cada àtom de coure contribue, en mitjana, amb 1.24 electrons lliures.

La fracció $f$ d’electrons lliures per àtom es calcula com: $$f = \frac{\text{Electrons lliures per àtom}}{\text{Electrons totals per àtom}} = \frac{1.24}{29}$$ $$f \approx 0.043 \quad \text{(o 4.3\%)}$$

Així, la fracció mitjana d’electrons lliures per àtom de coure és aproximadament $4.3\%$.

Resum dels resultats finals:

(a) Densitat de portadors de càrrega del coure: $n \approx 1.04 \times 10^{28} \, \text{electrons/m}^3$

(b) Electrons lliures per àtom de coure:
Cada àtom de coure contribue, en mitjana, aproximadament $1.24$ electrons lliures.

(c) Fracció d’electrons lliures per àtom:
La fracció d’electrons lliures és aproximadament $4.3\%$.