Distribució normal. Problema altura alumnes de batxillerat

Es suposa que l’altura de les alumnes de segon de Batxillerat d’una determinada ciutat segueix una llei Normal amb una mitjana de $165$ cm i una desviació típica de $11$ cm. Es pren una mostra aleatòria de $121$ d’aquestes alumnes i es calcula la seva mitjana. Quina és la probabilitat que aquesta mitjana sigui menor que $164$ cm?

La probabilitat que la mitjana mostral sigui menor que 164 cm es pot calcular utilitzant la distribució normal de la mitjana mostral.

Dades del problema
La distribució de la població segueix una distribució Normal amb mitjana i desviació típica:

\[
X \sim N(165, 11^2)
\]
on:
\[
\mu = 165 \ \text{cm} \quad \text{(mitjana poblacional)}, \quad \sigma = 11 \ \text{cm} \quad \text{(desviació típica poblacional)}.
\]

Es pren una mostra de mida \( n = 121 \).

La mitjana mostral \( \bar{X} \) segueix una distribució normal:

\[
\bar{X} \sim N\left( \mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)
\]

Substituint els valors:

\[
\bar{X} \sim N\left( 165, \frac{11}{\sqrt{121}} \right) = N(165, 1)
\]

Es vol calcular la probabilitat:

\[
P(\bar{X} < 164)
\]

Tipificació
Per calcular la probabilitat, transformem a la variable Normal estàndard \( Z \):

\[
Z = \frac{\bar{X} – \mu}{\sigma_{\bar{X}}}
\]

Substituint els valors:

\[
Z = \frac{164 – 165}{1} = \frac{-1}{1} = -1
\]

Càlcul de la probabilitat
Busquem en la taula de la normal estàndard la probabilitat:

\[
P(Z < -1)
\]

De la taula de la Normal estàndard:

\[
P(Z < -1) = 0.1587
\]

Conclusió
La probabilitat que la mitjana mostral de 121 alumnes sigui menor que 164 cm és:

\[
P(\bar{X} < 164) = 0.1587
\]