LEMNISCATA
Matemàtiques
Problema probabilitat amb taula de contingència
Problema probabilitat amb taula de contingència
El 70 % dels visitants d’un museu són espanyols. El 49 % són espanyols i majors d’edat. Dels que no són espanyols, el 40 % són menors d’edat. (a) Si es tria, a l’atzar, un visitant d’aquest museu, quina és la probabilitat que sigui major d’edat? (b) S’ha escollit, aleatòriament, un visitant d’aquest museu i resulta que és menor d’edat. Quina és la probabilitat que no sigui espanyol?
1. Definim la taula de contingència
Organitzem les dades en una taula on les files representen la nacionalitat (espanyol o no espanyol) i les columnes representen l’edat (major o menor d’edat).
| Major d’edat ($M$) | Menor d’edat ($\bar{M}$) | Total | |
|---|---|---|---|
| Espanyols ($E$) | 49% | ?? | 70% |
| No espanyols ($\bar{E}$) | ?? | 12% | 30% |
| Total | ?? | ?? | 100% |
2. Completem la taula amb les dades
- Sabem que el 70% dels visitants són espanyols, i d’aquests, el 49% són majors d’edat.
Per tant, la fracció d’espanyols menors d’edat és: $$P(E \cap \bar{M}) = P(E) – P(E \cap M) = 0.70 – 0.49 = 0.21$$ - Sabem que el 40% dels no espanyols són menors d’edat. Com que la proporció total de no espanyols és 30%, els no espanyols menors d’edat són: $$P(\bar{E} \cap \bar{M}) = 0.40 \times 0.30 = 0.12$$
- Ara podem trobar la fracció de no espanyols majors d’edat: $$P(\bar{E} \cap M) = P(\bar{E}) – P(\bar{E} \cap \bar{M}) = 0.30 – 0.12 = 0.18$$
Ara la taula queda així:
| Major d’edat ($M$) | Menor d’edat ($\bar{M}$) | Total | |
|---|---|---|---|
| Espanyols ($E$) | 49% | 21% | 70% |
| No espanyols ($\bar{E}$) | 18% | 12% | 30% |
| Total | 67% | 33% | 100% |
3. Resoldre les preguntes
(a) Probabilitat que un visitant sigui major d’edat
Busquem $P(M)$, que és la suma de les probabilitats de ser major d’edat tant si és espanyol com si no: $$P(M) = P(E \cap M) + P(\bar{E} \cap M) = 0.49 + 0.18 = 0.67$$
Resposta: La probabilitat que un visitant sigui major d’edat és 0.67 (67%).
(b) Probabilitat que un visitant no sigui espanyol donat que és menor d’edat
Apliquem la definició de probabilitat condicional: $$P(\bar{E} | \bar{M}) = \frac{P(\bar{E} \cap \bar{M})}{P(\bar{M})}$$
On:
- $P(\bar{E} \cap \bar{M}) = 0.12$ (no espanyols menors d’edat).
- $P(\bar{M}) = 0.33$ (total de menors d’edat).
Per tant: $$P(\bar{E} | \bar{M}) = \frac{0.12}{0.33} \approx 0.3636$$
Resposta: Si sabem que un visitant és menor d’edat, la probabilitat que no sigui espanyol és 0.3636 (36.36%).
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora
Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss www.campanadegauss.cat