Inferència estadística. Enquesta cinema caps de setmana

En una enquesta representativa realitzada a $1230$ persones d’una ciutat, es va obtenir com a resultat que $654$ d’elles van al cinema els caps de setmana. Calculeu un interval de confiança, al $97\%$, per a la proporció d’assistència al cinema els caps de setmana en aquesta ciutat.

Per calcular un interval de confiança per a la proporció d’assistència al cinema els caps de setmana amb un nivell de confiança del $97\%$, seguim els passos següents:

• Mida de la mostra: $n = 1230$
• Nombre de persones que van al cinema: $X = 654$
• Proporció mostral:\begin{equation}\hat{p} = \frac{X}{n} = \frac{654}{1230} \approx 0.5317\end{equation}
• Nivell de confiança: $97\%$, per tant, $\alpha = 1 – 0.97 = 0.03$ i $\alpha/2 = 0.015$.

Valor crític $Z_{\alpha/2}$
Per a un nivell de confiança del $97\%$, el valor crític de la distribució normal és:

\begin{equation}
Z_{0.015} = 2.17
\end{equation}

Càlcul del marge d’error
La fórmula del marge d’error en un interval de confiança per a una proporció és:

\begin{equation}
E = Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} (1 – \hat{p})}{n}}
\end{equation}

Substituint els valors:

\begin{equation}
E = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.5317 \times (1 – 0.5317)}{1230}}
\end{equation}

Calculant:

\begin{equation}
\hat{p} (1 – \hat{p}) = 0.5317 \times 0.4683 = 0.2489
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{0.2489}{1230} \approx 0.0002024
\end{equation}

\begin{equation}
\sqrt{0.0002024} \approx 0.0142
\end{equation}

\begin{equation}
E = 2.17 \times 0.0142 \approx 0.0308
\end{equation}

Construcció de l’interval de confiança
L’interval de confiança es calcula com:

\begin{equation}
IC = \hat{p} \pm E
\end{equation}

\begin{equation}
IC = 0.5317 \pm 0.0308
\end{equation}

\begin{equation}
IC = (0.5009, 0.5625)
\end{equation}

Amb un $97\%$ de confiança, podem afirmar que la proporció de persones a la ciutat que van al cinema els caps de setmana es troba entre $50.09\%$ i $56.25\%$.