LEMNISCATA
Matemàtiques
Problema sobre sistemes d’equacions. Producció i costos
Problema sobre sistemes d’equacions. Producció i costos
En una empresa es fabriquen tres tipus de productes: $x$, $y$ i $z$. Es coneix la següent informació sobre la producció i els costos:
- Per fabricar $1$ unitat del producte $x$, $2$ unitats del producte $y$ i $3$ unitats del producte $z$, el cost total és de $240$ €.
- Per fabricar $2$ unitats del producte $x$, $3$ unitats del producte $y$ i $5$ unitats del producte $z$, el cost total és de $410$ €.
- Per fabricar $3$ unitats del producte $x$, $5$ unitats del producte $y$ i $6$ unitats del producte $z$, el cost total és de $505$ €.
a) Escriure el sistema d’equacions que descriu el problema, on $x$, $y$ i $z$ representen el cost per unitat de cada producte.
b) Resoldre el sistema d’equacions utilitzant el mètode de Gauss.
c) Interpretar els resultats: quant costa produir una unitat de cada producte $x$, $y$ i $z$?
Sistema d’equacions:
- $x + 2y + 3z = 240$
- $2x + 3y + 5z = 410$
- $3x + 5y + 6z = 505$
Aquest sistema es pot expressar com una matriu ampliada:
$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 240 \\
2 & 3 & 5 & | & 410 \\
3 & 5 & 6 & | & 505
\end{pmatrix}$$
El mètode de Gauss consisteix a transformar aquesta matriu augmentada en una matriu esglaonada triangular superior mitjançant operacions fila (canvi de files, multiplicació d’una fila per un escalar, o sumar/multiplicar files), i després resoldre les incògnites.
Pas 1: Anul·lar els elements sota el pivot de la primera columna
El pivot és el valor $1$ a la posició $(1,1)$. Hem d’anul·lar els valors sota aquest pivot.
Fila 2: Multipliquem la fila $1$ per $-2$ i la sumem a la fila $2$:
$$F2 = F2 – 2F1$$
$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 240 \\
2 & 3 & 5 & | & 410 \quad \Rightarrow \quad 2 – 2(1) = 0, \\
410 – 2(240) = -70 \
\end{pmatrix}$$
Això ens dóna:
$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 240 \\
0 & -1 & -1 & | & -70 \\
3 & 5 & 6 & | & 505
\end{pmatrix}$$
Fila 3: Multipliquem la fila $1$ per $-3$) i la sumem a la fila $3$:
$$F3 = F3 – 3F1$$
$$\begin{pmatrix}
3 – 3(1) = 0, \quad 505 – 3(240) = -215
\end{pmatrix}$$
Això ens dóna:
$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 240 \\
0 & -1 & -1 & | & -70 \\
0 & -1 & -3 & | & -215
\end{pmatrix}$$
Pas 2: Anul·lar l’element a la fila 3, columna 2
El pivot de la segona columna és $-1$ a la fila $2$. Hem d’anul·lar el valor de la fila $3$, columna $2$.
Multipliquem la fila $2$ per $-1$ i la sumem a la fila $3$:
$$F3 = F3 – F2$$
$$\begin{pmatrix}
-1 – (-1) = 0, \quad -215 – (-70) = -145
\end{pmatrix}$$
Això ens dóna:
$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 240 \\
0 & -1 & -1 & | & -70 \\
0 & 0 & -2 & | & -145
\end{pmatrix}$$
Pas 3: Resoldre el sistema (Substitució cap enrere)
Ara que tenim la matriu esglaonada, podem començar a resoldre el sistema per substitució cap enrere.
Resolem per $z$:
$$-2z = -145$$
$$z = \frac{-145}{-2} = 72.5$$
Resolem per $y$:
Substituïm $z = 72.5$ a la segona equació:
$$-1y – 1(72.5) = -70$$
$$-1y – 72.5 = -70$$
$$-1y = -70 + 72.5$$
$$y = 2.5$$
Resolem per $x$:
Substituïm $y = 2.5$ i $z = 72.5$ a la primera equació:
$$x + 2(2.5) + 3(72.5) = 240$$
$$x + 5 + 217.5 = 240$$
$$x + 222.5 = 240$$
$$x = 240 – 222.5 = 17.5$$
Solució final
Per tant, el cost per unitat de cada producte és:
- $x = 17.5$€
- $y = 2.5$€
- $z = 72.5$€
Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora
Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss www.campanadegauss.cat