Problema sistemes d’equacions sobre pinsos

Una empresa de fabricació de pinsos per a animals elabora tres tipus de barreges: $A$, $B$ i $C$. Cada mescla es compon de tres ingredients: farina de blat, farina de soja i farina de blat de moro. Les quantitats de cada ingredient que s’utilitzen per a cada mescla són diferents, i es coneixen les següents dades:

1. Per a la mescla $A$, s’utilitzen $3$ kg de farina de blat, $2$ kg de farina de soja i $4$ kg de farina de blat de moro.
2. Per a la mescla $B$, s’utilitzen $5$ kg de farina de blat, $3$ kg de farina de soja i $2$ kg de farina de blat de moro.
3. Per a la mescla $C$, s’utilitzen $2$ kg de farina de blat, $4$ kg de farina de soja i $3$ kg de farina de blat de moro.

La fabricació d’aquestes mescles ha de complir les següents restriccions:

• En total s’han d’utilitzar $40$ kg de farina de blat.
• En total s’han d’utilitzar $35$ kg de farina de soja.
• En total s’han d’utilitzar $45$ kg de farina de blat de moro.

a) Escriure el sistema d’equacions que descriu la situació, on $x$, $y$ i $z$ representen la quantitat (en kg) de les mescles $A$, $B$ i $C$ que es produeixen, respectivament.

b) Resoldre el sistema d’equacions utilitzant el mètode Cramer.

c) Interpretar els resultats: quantes unitats (en kg) de cada mescla $A$, $B$ i $C$ cal fabricar per complir les restriccions de la quantitat total de cada ingredient?

---

Anem a resoldre el problema utilitzant el mètode de Cramer. Recordem que el mètode de Cramer es basa en el càlcul de determinats per a trobar les solucions d’un sistema d’equacions lineals, utilitzant matrius. Per això, escriurem el sistema d’equacions en forma de matriu i després aplicarem la fórmula de Cramer.

---

Pas 1: Formulació del sistema d’equacions

A partir de les condicions donades al problema, podem escriure el següent sistema d’equacions lineals:

1. $3x + 5y + 2z = 40$ (quantitat total de farina de blat)
2. $2x + 3y + 4z = 35$ (quantitat total de farina de soja)
3. $4x + 2y + 3z = 45$ (quantitat total de farina de blat de moro)

On:

• $x$ és la quantitat de mescla $A$,
• $y$ és la quantitat de mescla $B$,
• $z$ és la quantitat de mescla $C$.

---

Pas 2: Matriu del sistema i determinats

Podem representar aquest sistema com una matriu augmentada $A$, una matriu de coeficients i un vector de termes independents.

El sistema es pot expressar així:

$$\begin{pmatrix}
3 & 5 & 2 \\
2 & 3 & 4 \\
4 & 2 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
40 \\
35 \\
45
\end{pmatrix}$$

Per aplicar el mètode de Cramer, necessitem calcular diversos determinats.

1. Determinant de la matriu de coeficients $\Delta$:

$$\Delta = \text{det} \begin{pmatrix}
3 & 5 & 2 \\
2 & 3 & 4 \\
4 & 2 & 3
\end{pmatrix}$$

Calcularem aquest determinant pas a pas:

$$\Delta = 3 \cdot \text{det} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} – 5 \cdot \text{det} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} + 2 \cdot \text{det} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$$

Ara calculem els determinants de les matrius $2×2$:

$$\text{det} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = 3 \cdot 3 – 4 \cdot 2 = 9 – 8 = 1$$
$$\text{det} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 – 4 \cdot 4 = 6 – 16 = -10$$
$$\text{det} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot 2 – 3 \cdot 4 = 4 – 12 = -8$$

Substituïm aquests valors a l’equació original per calcular $\Delta$:

$$\Delta = 3 \cdot 1 – 5 \cdot (-10) + 2 \cdot (-8) = 3 + 50 – 16 = 37$$

Per tant, $\Delta = 37$.

---

Pas 3: Càlcul de $\Delta_x$, $\Delta_y$, i $\Delta_z$

Ara substituïm les columnes de la matriu de coeficients per la columna de termes independents per calcular $\Delta_x$, $\Delta_y$, i $\Delta_z$.

1. $\Delta_x$: substituïm la primera columna per $\begin{pmatrix} 40 \\ 35 \\ 45 \end{pmatrix}$:

$$\Delta_x = \text{det} \begin{pmatrix}
40 & 5 & 2 \\
35 & 3 & 4 \\
45 & 2 & 3
\end{pmatrix}$$

Calculem aquest determinant pas a pas:

$$\Delta_x = 40 \cdot \text{det} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} – 5 \cdot \text{det} \begin{pmatrix} 35 & 4 \\ 45 & 3 \end{pmatrix} + 2 \cdot \text{det} \begin{pmatrix} 35 & 3 \\ 45 & 2 \end{pmatrix}$$

Ara calculem els determinants de les matrius $2×2$:

$$\text{det} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = 3 \cdot 3 – 4 \cdot 2 = 9 – 8 = 1$$
$$\text{det} \begin{pmatrix} 35 & 4 \\ 45 & 3 \end{pmatrix} = 35 \cdot 3 – 4 \cdot 45 = 105 – 180 = -75$
$$\text{det} \begin{pmatrix} 35 & 3 \\ 45 & 2 \end{pmatrix} = 35 \cdot 2 – 3 \cdot 45 = 70 – 135 = -65$$

Substituïm aquests valors a l’equació:

$$\Delta_x = 40 \cdot 1 – 5 \cdot (-75) + 2 \cdot (-65) = 40 + 375 – 130 = 285$$

Per tant, $\Delta_x = 285$.

---

2. $\Delta_y$: substituïm la segona columna per $\begin{pmatrix} 40 \\ 35 \\ 45 \end{pmatrix}$:

$$\Delta_y = \text{det} \begin{pmatrix}
3 & 40 & 2 \\
2 & 35 & 4 \\
4 & 45 & 3
\end{pmatrix}$$

Calculem aquest determinant pas a pas:

$$\Delta_y = 3 \cdot \text{det} \begin{pmatrix} 35 & 4 \\ 45 & 3 \end{pmatrix} – 40 \cdot \text{det} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} + 2 \cdot \text{det} \begin{pmatrix} 2 & 35 \\ 4 & 45 \end{pmatrix}$$

Ara calculem els determinants de les matrius $2×2$:

$$\text{det} \begin{pmatrix} 35 & 4 \\ 45 & 3 \end{pmatrix} = 35 \cdot 3 – 4 \cdot 45 = 105 – 180 = -75$$
$$\text{det} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 – 4 \cdot 4 = 6 – 16 = -10$$
$$\text{det} \begin{pmatrix} 2 & 35 \\ 4 & 45 \end{pmatrix} = 2 \cdot 45 – 35 \cdot 4 = 90 – 140 = -50$$

Substituïm aquests valors a l’equació:

$$\Delta_y = 3 \cdot (-75) – 40 \cdot (-10) + 2 \cdot (-50) = -225 + 400 – 100 = 75$$

Per tant, $\Delta_y = 75$.

---

3. $\Delta_z$: substituïm la tercera columna per $\begin{pmatrix} 40 \\ 35 \\ 45 \end{pmatrix}$:

$$\Delta_z = \text{det} \begin{pmatrix}
3 & 5 & 40 \\
2 & 3 & 35 \\
4 & 2 & 45
\end{pmatrix}$$

Calculem aquest determinant pas a pas:

$$\Delta_z = 3 \cdot \text{det} \begin{pmatrix} 3 & 35 \\ 2 & 45 \end{pmatrix} – 5 \cdot \text{det} \begin{pmatrix} 2 & 35 \\ 4 & 45 \end{pmatrix} + 40 \cdot \text{det} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$$

Ara calculem els determinants de les matrius $2×2$:

$$\text{det} \begin{pmatrix} 3 & 35 \\ 2 & 45 \end{pmatrix} = 3 \cdot 45 – 35 \cdot 2 = 135 – 70 = 65$$
$$\text{det} \begin{pmatrix} 2 & 35 \\ 4 & 45 \end{pmatrix} = 2 \cdot 45 – 35 \cdot 4 = 90 – 140 = -50$$
$$\text{det} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot 2 – 3 \cdot 4 = 4 – 12 = -8$$

Substituïm aquests valors a l’equació:

$$\Delta_z = 3 \cdot 65 – 5 \cdot (-50) + 40 \cdot (-8) = 195 + 250 – 320 = 125$$

Per tant, $\Delta_z = 125$.

---

Pas 4: Solució del sistema

Finalment, trobem les solucions utilitzant les fórmules de Cramer:

$$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{285}{37} \approx 7.7$$
$$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{75}{37} \approx 2.03$$
$$z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{125}{37} \approx 3.38$$

---

Conclusió

Per complir les restriccions de la quantitat total d’ingredients, cal fabricar aproximadament:

• $x \approx 7.7$ kg de la mescla $A$,
• $y \approx 2.03$ kg de la mescla $B$,
• $z \approx 3.38$ kg de la mescla $C$.