Problema de bitllets en un caixer automàtic

En un caixer automàtic han posat un total de $190$ bitllets, entre bitllets de $10$, $20$ i $50$ euros. Sabem que el nombre de bitllets de $20$ euros és igual al nombre de bitllets de $10$ i $50$ euros junts, i que la quantitat total d’euros és de $4250$. Quants bitllets de cada tipus han posat en el caixer?

Solució:
Per resoldre el problema, definim les variables i establim les equacions basades en les dades proporcionades:

• Sigui $x$ el nombre de bitllets de 10 euros.
• Sigui $y$ el nombre de bitllets de 20 euros.
• Sigui $z$ el nombre de bitllets de 50 euros.

D’acord amb l’enunciat, tenim les següents condicions:

1. Total de bitllets:
   $$x + y + z = 190$$
2. Relació entre bitllets de 20 euros i els altres:
   $$y = x + z$$
3. Quantitat total en euros:
   $$10x + 20y + 50z = 4250$$

Pas 1: Substituir $y = x + z$ a les altres equacions

Substituïm $y = x + z$ a l’equació del total de bitllets:
$$x + (x + z) + z = 190$$
Simplifiquem:
$$2x + 2z = 190$$
Dividim per 2:
$$x + z = 95$$

Ara substituïm $y = x + z$ a l’equació de la quantitat total en euros:
$$10x + 20(x + z) + 50z = 4250$$
Expandim:
$$10x + 20x + 20z + 50z = 4250$$
Simplifiquem:
$$30x + 70z = 4250$$
Dividim per 10 per simplificar:
$$3x + 7z = 425$$

Pas 2: Resoldre el sistema d’equacions

Tenim el sistema següent:

1. $x + z = 95$
2. $3x + 7z = 425$

De la primera equació, aïllem $x$:
$$x = 95 – z$$

Substituïm $x = 95 – z$ a la segona equació:
$$3(95 – z) + 7z = 425$$
Expandim:
$$285 – 3z + 7z = 425$$
Simplifiquem:
$$285 + 4z = 425$$
Aïllem $z$:
$$4z = 425 – 285$$
$$4z = 140$$
$$z = 35$$

Ara trobem $x$ usant $x = 95 – z$:
$$x = 95 – 35 = 60$$

Finalment, trobem $y$ usant $y = x + z$:
$$y = 60 + 35 = 95$$

Resposta final:
En el caixer automàtic hi ha:

• 60 bitllets de 10 euros,
• 95 bitllets de 20 euros,
• 35 bitllets de 50 euros.