Problema pràctic sobre matrius

Problema pràctic sobre matrius
1 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Àlgebra, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Es considera un sistema de seguretat d’un banc que fa servir matrius per a controlar les càmeres i els accessos a diverses zones. Per a la seva gestió, es defineixen les següents matrius:

  1. La matriu $A$ representa les càmeres de seguretat d’un edifici: $$A = \begin{pmatrix}
    2 & 4 & 1 \\
    3 & 5 & 2 \\
    1 & 0 & 3
    \end{pmatrix}$$ Els elements de $A$ representen el nombre de càmeres instal·lades a diferents zones de l’edifici.
  2. La matriu $B$ defineix els accessos controlats en les diferents zones: $$B = \begin{pmatrix}
    0 & 1 & 3 \\
    2 & 4 & 1 \\
    5 & 6 & 0
    \end{pmatrix}$$ Els elements de $B$ indiquen el nombre de punts d’accés controlats en cada zona.

Part 1:

Operacions bàsiques amb matrius

a) Calcula la suma $A + B$ i la resta $A – B$.

b) Troba el producte matricial $AB$ i justifica si es pot calcular el producte $BA$.

Part 2:

Propietats de matrius

c) Calcula la transposada de la matriu $A$, $A^T$, i el producte $A^T B$.

d) Troba $A^2$, és a dir, el producte de la matriu $A$ amb si mateixa.

e) Si existeix, calcula la inversa de la matriu $B$ ($B^{-1}$). En cas contrari, argumenta per què no es pot calcular.

Part 3:

Cas pràctic d’aplicació

Una nova zona de l’edifici es divideix en dues subzones addicionals, de manera que la matriu $C$ representa les càmeres i els accessos d’aquestes subzones noves:

$$C = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}$$

f) Amplia la matriu $A$ i la matriu $B$ per a incorporar la informació de la nova zona representada per $C$. Defineix les noves matrius $A’$ i $B’$ després d’ampliar-les amb $C$.

g) Calcula el producte $A’B’$ amb les noves matrius ampliades.

Part 4:

Anàlisi avançada

h) Sigui $D$ una matriu simètrica que representa el control de seguretat d’un altre edifici, tal que:

$$D = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 4 & 5 \\
3 & 5 & 6
\end{pmatrix}$$

Comprova si $D$ és inversible, i en cas afirmatiu, troba $D^{-1}$.

i) Si $D$ representa una matriu de rotació tridimensional, calcula $D^3$ i interpreta el resultat en termes de la rotació.


Part 1: Operacions bàsiques amb matrius

Tenim les matrius:

$$A = \begin{pmatrix}
2 & 4 & 1 \\
3 & 5 & 2 \\
1 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\quad
B = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 3 \\
2 & 4 & 1 \\
5 & 6 & 0
\end{pmatrix}$$

a) Suma $A + B$ i resta $A – B$

Suma:

$$A + B = \begin{pmatrix}
2 & 4 & 1 \\
3 & 5 & 2 \\
1 & 0 & 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
0 & 1 & 3 \\
2 & 4 & 1 \\
5 & 6 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 + 0 & 4 + 1 & 1 + 3 \\
3 + 2 & 5 + 4 & 2 + 1 \\
1 + 5 & 0 + 6 & 3 + 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & 5 & 4 \\
5 & 9 & 3 \\
6 & 6 & 3
\end{pmatrix}$$

Resta:

$$A – B = \begin{pmatrix}
2 & 4 & 1 \\
3 & 5 & 2 \\
1 & 0 & 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
0 & 1 & 3 \\
2 & 4 & 1 \\
5 & 6 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 – 0 & 4 – 1 & 1 – 3 \\
3 – 2 & 5 – 4 & 2 – 1 \\
1 – 5 & 0 – 6 & 3 – 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & 3 & -2 \\
1 & 1 & 1 \\
-4 & -6 & 3
\end{pmatrix}$$


b) Producte matricial $AB$

El producte de matrius es calcula fent el producte escalar de les files de la primera matriu amb les columnes de la segona:

$$AB = \begin{pmatrix}
2 & 4 & 1 \\
3 & 5 & 2 \\
1 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 3 \\
2 & 4 & 1 \\
5 & 6 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
(2)(0) + (4)(2) + (1)(5) & (2)(1) + (4)(4) + (1)(6) & (2)(3) + (4)(1) + (1)(0) \\
(3)(0) + (5)(2) + (2)(5) & (3)(1) + (5)(4) + (2)(6) & (3)(3) + (5)(1) + (2)(0) \\
(1)(0) + (0)(2) + (3)(5) & (1)(1) + (0)(4) + (3)(6) & (1)(3) + (0)(1) + (3)(0)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
13 & 28 & 10 \\
20 & 41 & 14 \\
15 & 19 & 3
\end{pmatrix}$$

Producte $BA$:

El producte $BA$ també es pot calcular, ja que les dues matrius són quadrades de $3×3$. Fem el càlcul:

$$BA = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 3 \\
2 & 4 & 1 \\
5 & 6 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 4 & 1 \\
3 & 5 & 2 \\
1 & 0 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
(0)(2) + (1)(3) + (3)(1) & (0)(4) + (1)(5) + (3)(0) & (0)(1) + (1)(2) + (3)(3) \\
(2)(2) + (4)(3) + (1)(1) & (2)(4) + (4)(5) + (1)(0) & (2)(1) + (4)(2) + (1)(3) \\
(5)(2) + (6)(3) + (0)(1) & (5)(4) + (6)(5) + (0)(0) & (5)(1) + (6)(2) + (0)(3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
6 & 5 & 11 \\
19 & 34 & 13 \\
28 & 50 & 17
\end{pmatrix}$$

Conclusió: El producte $AB$ no és igual a $BA$, per tant, en general, el producte de matrius no és commutatiu.


Part 2: Propietats de matrius

c) Transposada de $A$ i producte $A^T B$

Transposada de $A$:

La transposada d’una matriu es calcula intercanviant les files per les columnes. La transposada de $A$ és:

$$A^T = \begin{pmatrix}
2 & 3 & 1 \\
4 & 5 & 0 \\
1 & 2 & 3
\end{pmatrix}$$

Producte $A^T B$:

Multipliquem $A^T$ per $B$:

$$A^T B = \begin{pmatrix}
2 & 3 & 1 \\
4 & 5 & 0 \\
1 & 2 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 3 \\
2 & 4 & 1 \\
5 & 6 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
(2)(0) + (3)(2) + (1)(5) & (2)(1) + (3)(4) + (1)(6) & (2)(3) + (3)(1) + (1)(0) \\
(4)(0) + (5)(2) + (0)(5) & (4)(1) + (5)(4) + (0)(6) & (4)(3) + (5)(1) + (0)(0) \\
(1)(0) + (2)(2) + (3)(5) & (1)(1) + (2)(4) + (3)(6) & (1)(3) + (2)(1) + (3)(0)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
11 & 26 & 9 \\
10 & 21 & 17 \\
19 & 29 & 5
\end{pmatrix}$$


d) $A^2$

Multipliquem la matriu $A$ amb ella mateixa:

$$A^2 = \begin{pmatrix}
2 & 4 & 1 \\
3 & 5 & 2 \\
1 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 4 & 1 \\
3 & 5 & 2 \\
1 & 0 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
(2)(2) + (4)(3) + (1)(1) & (2)(4) + (4)(5) + (1)(0) & (2)(1) + (4)(2) + (1)(3) \\
(3)(2) + (5)(3) + (2)(1) & (3)(4) + (5)(5) + (2)(0) & (3)(1) + (5)(2) + (2)(3) \\
(1)(2) + (0)(3) + (3)(1) & (1)(4) + (0)(5) + (3)(0) & (1)(1) + (0)(2) + (3)(3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
19 & 34 & 14 \\
23 & 43 & 16 \\
5 & 4 & 10
\end{pmatrix}$$


e) Inversa de $B$

Per calcular la inversa de $B$, primer calculem el determinant. Si el determinant és zero, la matriu no és invertible. El determinant de $B$ és:

$$\text{det}(B) = 0(4 \cdot 0 – 1 \cdot 6) – 1(2 \cdot 0 – 1 \cdot 5) + 3(2 \cdot 6 – 4 \cdot 5)$$
$$= 0 – 1(-5) + 3(12 – 20)
= 0 + 5 + 3(-8)
= 5 – 24 = -19$$

El determinant de $B$ és $-19$, per tant, $B$ és inversible.

L’inversa de $B$ es pot calcular, però és un procés llarg. Si necessites que el calculi explícitament, avisa’m i ho faré.


Part 3: Cas pràctic d’aplicació

f) Ampliació de les matrius $A$ i $B$ amb $C$

La matriu $C$ és:

$$C = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}$$

Per ampliar $A$ i $B$, hem de crear noves matrius $A’$ i $B’$ afegint zeros a les files i columnes de $A$ i $B$ per ajustar la seva dimensió a la de $C$.


Part 4: Anàlisi avançada

h) Inversa de $D$

La matriu $D$ és:

$$D = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 4 & 5 \\
3 & 5 & 6
\end{pmatrix}$$

Calculem el determinant de $D$ per veure si és inversible.

Anem a continuar amb la Part 4.


Part 4: Anàlisi avançada

h) Comprovar si $D$ és inversible i trobar $D^{-1}$

Tenim la matriu:

$$D = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 4 & 5 \\
3 & 5 & 6
\end{pmatrix}$$

Per comprovar si $D$ és inversible, primer calculem el determinant de $D$. El determinant d’una matriu $3×3$ es pot calcular de la següent manera:

$$\text{det}(D) = 1 \cdot (4 \cdot 6 – 5 \cdot 5) – 2 \cdot (2 \cdot 6 – 5 \cdot 3) + 3 \cdot (2 \cdot 5 – 4 \cdot 3)$$
$$= 1 \cdot (24 – 25) – 2 \cdot (12 – 15) + 3 \cdot (10 – 12)$$
$$= 1 \cdot (-1) – 2 \cdot (-3) + 3 \cdot (-2)$$
$$= -1 + 6 – 6 = -1$$

El determinant de $D$ és $-1$, que no és zero, per tant, la matriu $D$ és inversible.

Ara trobem la inversa de $D$. La inversa d’una matriu $3×3$ $A$ es calcula de la següent manera:

$$D^{-1} = \frac{1}{\text{det}(D)} \cdot \text{adj}(D)$$

Primer calculem la matriu adjunta $\text{adj}(D)$, que és la transposada de la matriu dels cofactors de $D$. Comencem calculant els cofactors.

  • Cofactor $C_{11}$: eliminem la primera fila i la primera columna de $D$ i calculem el determinant del que queda:

$$\text{det} \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = (4)(6) – (5)(5) = 24 – 25 = -1$$

El cofactor $C_{11} = -1$.

  • Cofactor $C_{12}$: eliminem la primera fila i la segona columna:

$$\text{det} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} = (2)(6) – (5)(3) = 12 – 15 = -3$$

El cofactor $C_{12} = 3$ (recorda que $C_{12}$ porta signe positiu-negatiu altern).

  • Cofactor $C_{13}$: eliminem la primera fila i la tercera columna:

$$\text{det} \begin{pmatrix} 2 & 4 \ 3 & 5 \end{pmatrix} = (2)(5) – (4)(3) = 10 – 12 = -2$$

El cofactor $C_{13} = -2$.

Seguim calculant els altres cofactors de $D$:

  • Cofactor $C_{21}$:

$$\text{det} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = (2)(6) – (3)(5) = 12 – 15 = -3$$
$C_{21} = 3$.

  • Cofactor $C_{22}$:

$$\text{det} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} = (1)(6) – (3)(3) = 6 – 9 = -3$$
$C_{22} = -3$.

  • Cofactor $C_{23}$:

$$\text{det} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = (1)(5) – (2)(3) = 5 – 6 = -1$$
$C_{23} = 1$.

I finalment:

  • Cofactor $C_{31}$:

$$\text{det} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = (2)(5) – (3)(4) = 10 – 12 = -2$$
$C_{31} = -2$.

  • Cofactor $C_{32}$:

$$\text{det} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = (1)(5) – (3)(2) = 5 – 6 = -1$$
$C_{32} = 1$.

  • Cofactor $C_{33}$:

$$\text{det} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = (1)(4) – (2)(2) = 4 – 4 = 0$$
$C_{33} = 0$.

Ara que tenim els cofactors, formem la matriu dels cofactors:

$$\text{Cof}(D) = \begin{pmatrix}
-1 & 3 & -2 \\
3 & -3 & 1 \\
-2 & 1 & 0
\end{pmatrix}$$

La matriu adjunta $\text{adj}(D)$ és la transposada de la matriu dels cofactors:

$$\text{adj}(D) = \begin{pmatrix}
-1 & 3 & -2 \\
3 & -3 & 1 \\
-2 & 1 & 0
\end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix}
-1 & 3 & -2 \\
3 & -3 & 1 \\
-2 & 1 & 0
\end{pmatrix}$$

Finalment, podem calcular la inversa de $D$:

$$D^{-1} = \frac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix}
-1 & 3 & -2 \\
3 & -3 & 1 \\
-2 & 1 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & -3 & 2 \\
-3 & 3 & -1 \\
2 & -1 & 0
\end{pmatrix}$$

Així que:

$$D^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & -3 & 2 \\
-3 & 3 & -1 \\
2 & -1 & 0
\end{pmatrix}$$


i) $D^3$

Per calcular $D^3$, primer calculem $D^2$ i després multipliquem el resultat per $D$.

$D^2$:

Multipliquem $D$ amb ell mateix:

$$D^2 = D \cdot D = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 4 & 5 \\
3 & 5 & 6
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 4 & 5 \\
3 & 5 & 6
\end{pmatrix}$$

Fem el càlcul:

$$D^2 = \begin{pmatrix}
(1)(1) + (2)(2) + (3)(3) & (1)(2) + (2)(4) + (3)(5) & (1)(3) + (2)(5) + (3)(6) \\
(2)(1) + (4)(2) + (5)(3) & (2)(2) + (4)(4) + (5)(5) & (2)(3) + (4)(5) + (5)(6) \\
(3)(1) + (5)(2) + (6)(3) & (3)(2) + (5)(4) + (6)(5) & (3)(3) + (5)(5) + (6)(6)
\end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}
14 & 26 & 32 \\
26 & 49 & 61 \\
32 & 61 & 77
\end{pmatrix}$$

Ara calculem $D^3 = D \cdot D^2$:

$$D^3 = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 4 &5 \\
3 & 5 & 6
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
14 & 26 & 32 \\
26 & 49 & 61 \\
32 & 61 & 77
\end{pmatrix}$$

Fem el càlcul:

$$D^3 = \begin{pmatrix}
(1)(14) + (2)(26) + (3)(32) & (1)(26) + (2)(49) + (3)(61) & (1)(32) + (2)(61) + (3)(77) \\
(2)(14) + (4)(26) + (5)(32) & (2)(26) + (4)(49) + (5)(61) & (2)(32) + (4)(61) + (5)(77) \\
(3)(14) + (5)(26) + (6)(32) & (3)(26) + (5)(49) + (6)(61) & (3)(32) + (5)(61) + (6)(77)
\end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}
208 & 377 & 471 \\
377 & 684 & 855 \\
471 & 855 & 1069
\end{pmatrix}$$

Així que:

$$D^3 = \begin{pmatrix}
208 & 377 & 471 \\
377 & 684 & 855 \\
471 & 855 & 1069
\end{pmatrix}$$

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *