Problema distribució normal. Pes dels nadons

El pes dels nadons en una població segueix una distribució normal amb mitjana $\mu = 3.5\ \text{kg}$ i desviació típica $\sigma = 0.2\ \text{kg}$. a) Quina és la probabilitat que un nadó pesi més de $4\ \text{kg}$? I menys de $3.8\ \text{kg}$? b) Quin és el pes que és superat pel $45 \%$ dels nadons?

La variable $X$: «pes dels nadons» segueix una distribució normal $N(3,5, 0,2)$.
Cal tipificar la variable $X$ mitjançant l’expressió $Z = \frac{X – 3,5}{0,2}$.

a) Per $x_1 = 4$, tenim
$$z_1 = \frac{4 – 3,5}{0,2} = \frac{0,5}{0,2} = 2,5$$
Llavors, $p[X \geq 4] = p[Z \geq 2,5] = 1 – p[Z \leq 2,5] = 1 – 0,9938 = 0,0062$.

b) Per $x_2 = 3,8$, tenim
\[
z_2 = \frac{3,8 – 3,5}{0,2} = \frac{0,3}{0,2} = 1,5
\]
Llavors, $p[X \leq 3,8] = p[Z \leq 1,5] = 0,9332$.

b) Si el $45\%$ dels nadons supera un determinat pes, significa que $p[X \geq x_3] = 0,45$, en què $x_3$ és el valor que hem de determinar.
Considerem la mateixa probabilitat per a la variable tipificada $p[Z \geq z_3] = 0,45$.

De $p[Z \geq z_3] = 0,45$, obtenim que
$$p[Z \leq z_3] = 1 – 0,45 = 0,55 \quad \Rightarrow \quad z_3 = 0,13.$$
El valor de probabilitat $0,55$ no surt en la taula. El que més s’hi aproxima és $0,5517$, que correspon a $z_3 = 0,13$.

A continuació, utilitzem la fórmula per trobar $x_3$:
$$x_3 = \sigma z_3 + \mu$$
Si $z_3 = 0,13$, aleshores
$$x_3 = 0,2 \cdot 0,13 + 3,5 = 0,026 + 3,5 = 3,526$$
Podem afirmar que un $45\%$ dels nadons pesa més de $3,526$ kg.