Problema distribució binomial

La probabilitat de guanyar en una competició és $p =\frac{1}{5}$. Si se celebren sis proves, quina és la probabilitat de guanyar, com a mínim, quatre vegades? I la de guanyar menys de cinc vegades?

Definim el succés $A$: “guanyar en una competició”:
\begin{equation}
p = P(A) = \frac{1}{5}, \quad q = P(A^c) = \frac{4}{5}
\end{equation}

La variable $X$: “nombre de competicions guanyades” segueix una distribució binomial $B(6, \frac{1}{5})$. Per tant, la probabilitat de guanyar, com a mínim, quatre de les sis vegades serà:

\begin{equation}
P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)
\end{equation}

\begin{equation}
= \binom{6}{4} \left( \frac{1}{5} \right)^4 \left( \frac{4}{5} \right)^2 + \binom{6}{5} \left( \frac{1}{5} \right)^5 \left( \frac{4}{5} \right) + \binom{6}{6} \left( \frac{1}{5} \right)^6
\end{equation}

\begin{equation}
= \frac{240}{56} + \frac{24}{56} + \frac{1}{56} = \frac{265}{56} = \frac{53}{55} = \frac{53}{3125}
\end{equation}

I la probabilitat de guanyar menys de cinc vegades:
\begin{equation}
P(X < 5) = 1 – P(X \geq 5) = 1 – (P(X = 5) + P(X = 6))
\end{equation}

\begin{equation}
= 1 – \left(\frac{24}{56} + \frac{1}{56} \right) = 1 – \frac{25}{56} = 1 – \frac{1}{54} = \frac{624}{54} = \frac{624}{625}
\end{equation}

La funció de probabilitat d’aquest exemple és:

\begin{equation}
P(X = 0) = \binom{6}{0} \left( \frac{4}{5} \right)^6 = \frac{46}{56} = \frac{4096}{15625}
\end{equation}

\begin{equation}
P(X = 1) = \binom{6}{1} \frac{1}{5} \left( \frac{4}{5} \right)^5 = 6 \cdot \frac{45}{56} = \frac{6144}{15625}
\end{equation}

\begin{equation}
P(X = 2) = \binom{6}{2} \left( \frac{1}{5} \right)^2 \left( \frac{4}{5} \right)^4 = 15 \cdot \frac{44}{56} = 3 \cdot \frac{44}{55} = \frac{768}{3125}
\end{equation}

\begin{equation}
P(X = 3) = \binom{6}{3} \left( \frac{1}{5} \right)^3 \left( \frac{4}{5} \right)^3 = 20 \cdot \frac{43}{56} = \frac{44}{55} = \frac{256}{3125}
\end{equation}

\begin{equation}
P(X = 4) = \binom{6}{4} \left( \frac{1}{5} \right)^4 \left( \frac{4}{5} \right)^2 = 15 \cdot \frac{42}{56} = 3 \cdot \frac{42}{55} = \frac{48}{3125}
\end{equation}

\begin{equation}
P(X = 5) = \binom{6}{5} \left( \frac{1}{5} \right)^5 \cdot \frac{4}{5} = 6 \cdot \frac{4}{56} = 3 \cdot \frac{23}{56} = \frac{24}{15625}
\end{equation}

\begin{equation}
P(X = 6) = \binom{6}{6} \left( \frac{1}{5} \right)^6 = \frac{1}{56} = \frac{1}{15625}
\end{equation}

Els paràmetres de la distribució de probabilitat de la variable $X$ definida en l’exemple són:

• L’esperança:
  \begin{equation}
  \mu = n p = 6 \cdot \frac{1}{5} = \frac{6}{5}
  \end{equation}
• La variància:
  \begin{equation}
  \sigma^2 = n p q = 6 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}
  \end{equation}
• La desviació típica:
  \begin{equation}
  \sigma = \sqrt{n p q} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5} \approx 0.98
  \end{equation}