Funció de probabilitat i funció de distribució. Esperança matemàtica i desviació típica

Llancem tres monedes. Definim la variable aleatòria X com el nombre de creus que surtin. a) Determina la funció de probabilitat i la funció de distribució de la variable X. b) Representa gràficament la funció de probabilitat i la funció de distribució. c) Calcula l’esperança matemàtica i la desviació típica.

Definició de la variable aleatòria $X$

Sigui $X$ el nombre de creus en llançar tres monedes. La variable $X$ pot prendre els valors: $X \in \{0, 1, 2, 3\}$

Cada moneda pot sortir cara $C$ o creu $K$, amb probabilitat $P(C) = P(K) = \frac{1}{2}$. Com que llancem tres monedes, el nombre total de possibles resultats és: $2^3 = 8$

Els possibles resultats i els valors de $X$ són:

La funció de probabilitat $P(X = k)$ es determina comptant els casos favorables:

\begin{equation}
P(X = 0) = \frac{1}{8}, \quad P(X = 1) = \frac{3}{8}, \quad P(X = 2) = \frac{3}{8}, \quad P(X = 3) = \frac{1}{8}
\end{equation}

Funció de Distribució

La funció de distribució acumulativa $F(x) = P(X \leq x)$ és:

\begin{equation}
F(0) = P(X \leq 0) = \frac{1}{8}
\end{equation}
\begin{equation}
F(1) = P(X \leq 1) = \frac{4}{8}
\end{equation}
\begin{equation}
F(2) = P(X \leq 2) = \frac{7}{8}
\end{equation}
\begin{equation}
F(3) = P(X \leq 3) = 1
\end{equation}

Esperança Matemàtica i Desviació Típica

L’esperança matemàtica es calcula com:
\begin{equation}
E(X) = \sum x \cdot P(X = x)
\end{equation}

\begin{equation}
E(X) = 0 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{3}{8} + 2 \cdot \frac{3}{8} + 3 \cdot \frac{1}{8}
\end{equation}

\begin{equation}
E(X) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = 1.5
\end{equation}

La variància es calcula com:
\begin{equation}
V(X) = E(X^2) – [E(X)]^2
\end{equation}
On:
\begin{equation}
E(X^2) = \sum x^2 \cdot P(X = x)
\end{equation}

\begin{equation}
E(X^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{8} + 1^2 \cdot \frac{3}{8} + 2^2 \cdot \frac{3}{8} + 3^2 \cdot \frac{1}{8}
\end{equation}

\begin{equation}
E(X^2) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{12}{8} + \frac{9}{8} = \frac{24}{8} = 3
\end{equation}

\begin{equation}
V(X) = 3 – (1.5)^2 = 3 – 2.25 = 0.75
\end{equation}

La desviació típica és:
\begin{equation}
\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0.75} \approx 0.87
\end{equation}