Discussió sistema d’equacions

Considerau el següent sistema d’equacions depenent del paràmetre \( m \):\[\begin{cases}x + my + z &= 1 \\3x + 2y + z &= -1 \\mx + y – z &= -1\end{cases}\]a) Discutiu per a quins valors de \( m \) el sistema té solució. b) Resoleu-lo, si és possible, quan \( m = 1 \).

Considerem el sistema d’equacions: \[x + my + z = 1 \tag{1}\]\[3x + 2y + z = -1 \tag{2}\]\[mx + y – z = -1 \tag{3}\]

a) Discutir per a quins valors de \(m\) el sistema té solució Per estudiar els valors de \(m\) per als quals el sistema té solució, podem escriure aquest sistema en forma matricial:\[\begin{pmatrix}1 & m & 1 \\3 & 2 & 1 \\m & 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y \\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\-1 \\-1\end{pmatrix}\]Per saber si el sistema té solució, hem de mirar la matriu de coeficients:\[A = \begin{pmatrix}1 & m & 1 \\3 & 2 & 1 \\m & 1 & -1\end{pmatrix}\]Perquè el sistema tingui solució, la matriu ha de ser invertible, i per això la seva determinant no ha de ser zero. Per tant, calculem la determinant de la matriu \(A\):\[\text{det}(A) = \begin{vmatrix}1 & m & 1 \\3 & 2 & 1 \\m & 1 & -1\end{vmatrix}\]Per calcular la determinant d’una matriu 3×3, utilitzem la regla de Sarrus:\[\text{det}(A) = 1 \cdot\begin{vmatrix}2 & 1 \\1 & -1\end{vmatrix}- m \cdot\begin{vmatrix}3 & 1 \\m & -1\end{vmatrix}+ 1 \cdot\begin{vmatrix}3 & 2 \\m & 1\end{vmatrix}\]Ara calculem les determinats 2×2:\[\begin{vmatrix}2 & 1 \\1 & -1\end{vmatrix} = 2 \cdot (-1) – 1 \cdot 1 = -2 – 1 = -3\]\[\begin{vmatrix}3 & 1 \\m & -1\end{vmatrix} = 3 \cdot (-1) – 1 \cdot m = -3 – m = -(3 + m)\]\[\begin{vmatrix}3 & 2 \\m & 1\end{vmatrix} = 3 \cdot 1 – 2 \cdot m = 3 – 2m\]Substituïm aquestes determinades a la fórmula original:\[\text{det}(A) = 1 \cdot (-3) – m \cdot (-(3 + m)) + 1 \cdot (3 – 2m)\]Simplifiquem l’expressió:\[\text{det}(A) = -3 + m(3 + m) + 3 – 2m\]\[\text{det}(A) = -3 + 3m + m^2 + 3 – 2m\]\[\text{det}(A) = m^2 + m\]Perquè el sistema tingui solució, la determinant no ha de ser zero:\[m^2 + m \neq 0\]Així, podem factoritzar l’equació:\[m(m + 1) \neq 0\]Per tant, la determinant és zero per \(m = 0\) i \(m = -1\). Això vol dir que el sistema **té solució només quan \(m \neq 0\) i \(m \neq -1\)**. Si \(m = 0\) o \(m = -1\), el sistema no té solució única, i caldrà estudiar la consistència de les equacions en aquests casos (però no serà el cas general per resoldre aquí).

b) Resoldre el sistema per \( m = 1 \) Substituïm \( m = 1 \) en el sistema original d’equacions:\[x + y + z = 1 \tag{1′}\]\[3x + 2y + z = -1 \tag{2′}\]\[x + y – z = -1 \tag{3′}\]Anem a resoldre aquest sistema d’equacions. Primer, restem l’equació (3′) de l’equació (1′):\[(x + y + z) – (x + y – z) = 1 – (-1)\]\[2z = 2 \quad \Rightarrow \quad z = 1\]Ara substituïm \( z = 1 \) a les dues primeres equacions:De (1′):\[x + y + 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad x + y = 0 \tag{4}\]De (2′):\[3x + 2y + 1 = -1 \quad \Rightarrow \quad 3x + 2y = -2 \tag{5}\]Ara tenim un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites:1. \( x + y = 0 \)2. \( 3x + 2y = -2 \)Substituïm \( y = -x \) de (4) a (5):\[3x + 2(-x) = -2 \quad \Rightarrow \quad 3x – 2x = -2 \quad \Rightarrow \quad x = -2\]Substituïm \( x = -2 \) a (4):\[-2 + y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 2\]Per tant, la solució del sistema per \( m = 1 \) és:\[x = -2, \quad y = 2, \quad z = 1\]

Resposta final: a) El sistema té solució per a \( m \neq 0 \) i \( m \neq -1 \).b) Quan \( m = 1 \), la solució del sistema és:\[x = -2, \quad y = 2, \quad z = 1\]