Problema probabilitat urnes

Una urna A conté 5 bolles blanques i 3 de negres; una altra urna B conté 3 de blanques i 4 de negres. S’elegeix una urna a l’atzar i se n’extrau una bolla. a) Calculau la probabilitat que la bolla extreta sigui negra. b) Suposant que la bolla extreta és blanca, calculau la probabilitat que l’urna elegida hagi estat la A

Aquest problema es resol utilitzant el teorema de la probabilitat total i el teorema de Bayes.

Definició de successos Siguin:

– \( A \) i \( B \) els esdeveniments d’escollir l’urna \( A \) o \( B \), respectivament.

– \( B_E \) i \( N_E \) els esdeveniments d’extreure una bolla **blanca** o **negra**, respectivament.- Com que es tria una urna a l’atzar, tenim: \[ P(A) = P(B) = \frac{1}{2} \]

– Probabilitats d’extreure una bolla blanca o negra de cada urna: \[ P(B_E | A) = \frac{5}{8}, \quad P(N_E | A) = \frac{3}{8} \] \[ P(B_E | B) = \frac{3}{7}, \quad P(N_E | B) = \frac{4}{7} \]

a) Probabilitat que la bolla extreta sigui negra Utilitzem el teorema de la probabilitat total: \[P(N_E) = P(N_E | A) P(A) + P(N_E | B) P(B)\]Substituint valors:\[P(N_E) = \left(\frac{3}{8} \times \frac{1}{2} \right) + \left(\frac{4}{7} \times \frac{1}{2} \right)\]\[P(N_E) = \frac{3}{16} + \frac{4}{14} = \frac{3}{16} + \frac{2}{7}\]Calculant el mínim comú denominador (LCD = 112):\[P(N_E) = \frac{3 \times 7}{112} + \frac{2 \times 16}{112} = \frac{21}{112} + \frac{32}{112} = \frac{53}{112}\]Per tant, la probabilitat que la bolla extreta sigui negra és \( \frac{53}{112} \).

b) Probabilitat que s’hagi triat l’urna A, donat que la bolla extreta és blanca Això és una probabilitat condicionada que es calcula amb el teorema de Bayes: \[P(A | B_E) = \frac{P(B_E | A) P(A)}{P(B_E)}\]On \( P(B_E) \) es calcula com:\[P(B_E) = P(B_E | A) P(A) + P(B_E | B) P(B)\]Substituint valors:\[P(B_E) = \left(\frac{5}{8} \times \frac{1}{2} \right) + \left(\frac{3}{7} \times \frac{1}{2} \right)\]\[P(B_E) = \frac{5}{16} + \frac{3}{14}\]Calculant el mínim comú denominador (LCD = 112):\[P(B_E) = \frac{5 \times 7}{112} + \frac{3 \times 8}{112} = \frac{35}{112} + \frac{24}{112} = \frac{59}{112}\]Ara, substituïm a la fórmula de Bayes:\[P(A | B_E) = \frac{\frac{5}{8} \times \frac{1}{2}}{\frac{59}{112}}\]\[P(A | B_E) = \frac{5}{16} \times \frac{112}{59} = \frac{5 \times 7}{59} = \frac{35}{59}\]Per tant, la probabilitat que s’hagi triat l’urna A sabent que la bolla extreta és blanca és \( \frac{35}{59} \).

Resum de les respostes a) La probabilitat que la bolla extreta sigui negra és \( \frac{53}{112} \). b) La probabilitat que l’urna elegida hagi estat la \( A \), donat que la bolla extreta és blanca, és \( \frac{35}{59} \).