Problema probabilitat urnes

Una urna A conté 3 bolles blanques i 6 de negres; una altra urna B conté 2 de blanques i 1 de negra. S’extrauuna bolla a l’atzar de l’urna A i es posa dins l’urna B. Després s’extrau de l’urna B una bolla a l’atzar.a) Calculau la probabilitat que la bolla extreta de l’urna B sigui negra.b) Suposant que la bolla extreta de l’urna B és negra, calculau la probabilitat que la bolla extreta de l’urnaA també hagi estat negra.

Aquest problema es pot resoldre utilitzant el teorema de la probabilitat total i el teorema de Bayes.

Definició de successos– Siguin:

– \( B_A \) i \( N_A \) els esdeveniments d’extreure una bolla blanca o negra de l’urna \( A \), respectivament.

– \( B_B \) i \( N_B \) els esdeveniments d’extreure una bolla blanca o negra de l’urna \( B \), respectivament.

– Les probabilitats inicials de les bolles a l’urna \( A \) són: \[ P(B_A) = \frac{3}{9}, \quad P(N_A) = \frac{6}{9} \]- Les probabilitats inicials de les bolles a l’urna \( B \) són: \[ P(B_B | B_A) = \frac{3}{4}, \quad P(N_B | B_A) = \frac{1}{4} \] \[ P(B_B | N_A) = \frac{2}{4}, \quad P(N_B | N_A) = \frac{2}{4} \]

a) Probabilitat que la bolla extreta de l’urna B sigui negra. Utilitzem el teorema de la probabilitat total: \[P(N_B) = P(N_B | B_A) P(B_A) + P(N_B | N_A) P(N_A)\] Substituint les probabilitats:\[P(N_B) = \left(\frac{1}{4} \times \frac{3}{9} \right) + \left(\frac{2}{4} \times \frac{6}{9} \right)\]\[P(N_B) = \left(\frac{3}{36}\right) + \left(\frac{12}{36}\right) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}\]

b) Probabilitat que la bolla extreta de l’urna A hagi estat negra, sabent que la bolla extreta de l’urna B és negra Aquesta és una probabilitat condicionada, que es calcula amb el teorema de Bayes: \[P(N_A | N_B) = \frac{P(N_B | N_A) P(N_A)}{P(N_B)}\]Substituint valors:\[P(N_A | N_B) = \frac{\left(\frac{2}{4} \times \frac{6}{9}\right)}{\frac{5}{12}}\]\[P(N_A | N_B) = \frac{\frac{12}{36}}{\frac{5}{12}} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}\]

Resum de les respostes a) La probabilitat que la bolla extreta de l’urna B sigui negra és \( \frac{5}{12} \). b) La probabilitat que la bolla extreta de l’urna A també hagi estat negra, sabent que la bolla extreta de l’urna B és negra, és \( \frac{4}{5} \).