Problema funció de probabilitat i esperança matemàtica

En l’experiment aleatori de llançar dos daus enlaire definim la variable aleatòria $X$ com $X(a, b) = max(a, b)$, on $(a, b)$ són els resultats que mostren els dos daus. Determina la funció de probabilitat i calcula l’esperança matemàtica.

Definim la variable aleatòria $X(a, b)$ com el màxim dels resultats $a$ i $b$ obtinguts al llançar dos daus. L’espai mostral té $36$ resultats possibles, ja que cada dau pot tenir $6$ resultats possibles, i les combinacions de $(a, b)$ seran totes les parelles ordenades d’aquests valors. La funció de probabilitat $P(X = x)$ es pot calcular per a cada valor de $x$, on $x$ és el màxim dels dos resultats.

Funció de probabilitat
Les probabilitats per a cada valor de $X$ són les següents:

\begin{equation}
P(X = 1) = \frac{1}{36}
\end{equation}

\begin{equation}
P(X = 2) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}
\end{equation}

\begin{equation}
P(X = 3) = \frac{5}{36}
\end{equation}

\begin{equation}
P(X = 4) = \frac{7}{36}
\end{equation}

\begin{equation}
P(X = 5) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}
\end{equation}

\begin{equation}
P(X = 6) = \frac{11}{36}
\end{equation}

Esperança Matemàtica

L’esperança matemàtica $E(X)$ es calcula amb la següent fórmula:

\begin{equation}
E(X) = \sum_{x=1}^{6} x \cdot P(X = x)
\end{equation}

Substituïm les probabilitats calculades:

\begin{equation}
E(X) = 1 \cdot \frac{1}{36} + 2 \cdot \frac{3}{36} + 3 \cdot \frac{5}{36} + 4 \cdot \frac{7}{36} + 5 \cdot \frac{9}{36} + 6 \cdot \frac{11}{36}
\end{equation}

Resolem la suma:

\begin{equation}
E(X) = \frac{1}{36} + \frac{6}{36} + \frac{15}{36} + \frac{28}{36} + \frac{45}{36} + \frac{66}{36} = \frac{161}{36} \approx 4.47
\end{equation}

Per tant, l’esperança matemàtica és:

\begin{equation}
E(X) \approx 4.47
\end{equation}