Aproximació d’una distribució binomial per una normal

En un estudi realitzat a $200$0 persones s’ha comprovat que la probabilitat que un individu tingui un nivell alt de colesterol és $p = 0,6$. Considera la variable $X$: «nombre d’individus que tenen un nivell alt de colesterol» i calcula: a) $p[1180 \leq X \leq 1220]$ b) $p[X \geq 1225]$ c) $p[X = 1195]$

$X$ és una variable aleatòria que segueix una distribució binomial $B(2000, 0.6)$, la mitjana de la qual és
$$\mu = 2000 \cdot 0,6 = 1200$$
i la desviació típica:
$$\sigma = \sqrt{2000 \cdot 0,6 \cdot 0,4} = \sqrt{480} = 21,9.$$
Com que $n > 30$ i $p \approx 0,5$, podem aproximar aquesta distribució binomial per una normal $N(1.200, 21,9)$.

a) Per calcular $p[1180 \leq X \leq 1220]$, hem de calcular
$$p[-0,91 \leq Z \leq 0,91]$$
ja que:
$$z_1 = \frac{1180 – 1200}{21,9} = -0,91 \quad \text{i} \quad z_2 = \frac{1220 – 1200}{21,9} = 0,91.$$
D’on obtenim que:

$p[1180 \leq X \leq 1220]$, hem de calcular
$$p[-0,91 \leq Z \leq 0,91] = p[Z \leq 0,91] – p[Z \leq -0,91] = 2(p[Z \leq 0,91] – 0,5)$$
Així,
$$2(0,8186 – 0,5) = 2 \cdot 0,3186 = 0,6372$$

b) En ser $z = \frac{1225 – 1200}{21,9} = 1,14$, tenim:
\[
p[X \geq 1225] = p[Z \geq 1,14] = 1 – p[Z \leq 1,14] = 1 – 0,8729 = 0,1271.
\]

c) Tenint en compte el criteri enunciat anteriorment, en aquest cas hem de trobar $p[1194,5 \leq X \leq 1195,5]$ en la distribució normal. Primer calculem els valors de la variable tipificada:
\[
z_1 = \frac{1194,5 – 1200}{21,9} = -0,25 \quad \text{i} \quad z_2 = \frac{1195,5 – 1200}{21,9} = -0,21.
\]
Llavors,
\[
p[1194,5 \leq X \leq 1195,5] = p[-0,25 \leq Z \leq -0,21] = p[Z \leq -0,21] – p[Z \leq -0,25].
\]
Així,
\[
p[Z \geq 0,21] – p[Z \geq 0,25] = p[Z \leq 0,25] – p[Z \leq 0,21] = 0,5987 – 0,5832 = 0,0155.
\]