Distribució normal. Concentració de colesterol en sang

La relació entre la concentració de colesterol en sang i l’aparició de malalties coronàries ha estat objecte de moltes especulacions i investigacions. Com a part d’un estudi governamental de salut, es mediren els nivells de colesterol en sang d’una gran mostra. La distribució per a xics de 14 anys pot ser aproximada per una corba normal amb mitjana $\mu = 170$ mg/dl i desviació típica $\sigma = 30$ mg/dl. a) Quin percentatge de xics tenen un nivell de colesterol entre $170$ i $220$ mg/dl? b) Quin percentatge superen els $160$ mg/dl? c) Suposem que volem trobar el percentil $70$ de la distribució dels nivells de colesterol. d) Trobar l’interval centrat en la mitjana que conté al $50\%$ dels nivells de colesterol.

a) Per resoldre aquest problema, utilitzem la distribució normal amb mitjana $\mu = 170$ mg/dl i desviació típica $\sigma = 30$ mg/dl. Volem calcular la probabilitat que el nivell de colesterol estigui entre 170 mg/dl i 220 mg/dl, és a dir, volem trobar $P(170 \leq X \leq 220)$.

\begin{equation}
Z = \frac{X – \mu}{\sigma}
\end{equation}

Pas 1: Convertir els valors a la variable tipificada $Z$.

Per $X = 170$:
\begin{equation}
Z_1 = \frac{170 – 170}{30} = 0
\end{equation}

Per $X = 220$:
\begin{equation}
Z_2 = \frac{220 – 170}{30} = \frac{50}{30} = 1,67
\end{equation}

Pas 2: Trobar la probabilitat.

Ara calculem les probabilitats associades als valors de $Z$:

\begin{equation}
P(Z \leq 0) = 0,5
\end{equation}

\begin{equation}
P(Z \leq 1,67) \approx 0,9525
\end{equation}

Pas 3: Calcular la probabilitat entre 170 i 220 mg/dl.

La probabilitat que el nivell de colesterol estigui entre 170 mg/dl i 220 mg/dl és:

\begin{equation}
P(170 \leq X \leq 220) = P(Z \leq 1,67) – P(Z \leq 0)
\end{equation}

Substituïm les probabilitats:

\begin{equation}
P(170 \leq X \leq 220) = 0,9525 – 0,5 = 0,4525
\end{equation}

Pas 4: Convertir a percentatge.

Finalment, per convertir la probabilitat a un percentatge:

\begin{equation}
0,4525 \times 100 = 45,25\%
\end{equation}

Així, el percentatge de xics que tenen un nivell de colesterol entre 170 i 220 mg/dl és aproximadament $45,25\%$.

b) Per calcular el percentatge de xics que superen els 160 mg/dl, utilitzem la mateixa distribució normal amb mitjana $\mu = 170$ mg/dl i desviació típica $\sigma = 30$ mg/dl.

Pas 1: Convertir el valor de 160 mg/dl a la variable tipificada $Z$.

Utilitzem la fórmula per a la variable tipificada:
$$Z = \frac{X – \mu}{\sigma}$$
Per $X = 160$:
$$Z = \frac{160 – 170}{30} = \frac{-10}{30} = -0,33$$

Pas 2: Trobar la probabilitat associada al valor de $Z = -0,33$.

Segons la taula de la distribució normal, $P(Z \leq -0,33) \approx 0,3707$. Així, la probabilitat que el nivell de colesterol sigui inferior o igual a 160 mg/dl és:
$$P(X \leq 160) = P(Z \leq -0,33) = 0,3707$$

Pas 3: Trobar la probabilitat complementària.

Per trobar la probabilitat que el nivell de colesterol sigui superior a 160 mg/dl, utilitzem la probabilitat complementària:
$$P(X > 160) = 1 – P(X \leq 160) = 1 – 0,3707 = 0,6293$$

Pas 4: Convertir a percentatge.

Per convertir la probabilitat a percentatge:
$$0,6293 \times 100 = 62,93\%$$

Així, el percentatge de xics que superen els 160 mg/dl és aproximadament $62,93\%$.

c) Per trobar el percentil 70 de la distribució dels nivells de colesterol, utilitzem la distribució normal amb mitjana $\mu = 170$ mg/dl i desviació típica $\sigma = 30$ mg/dl.

Pas 1: Trobar el valor corresponent a $Z$ per al percentil 70.

El percentil 70 ens indica que volem trobar el valor $z$ tal que la probabilitat acumulada fins a aquest valor sigui de 0,70 (és a dir, $P(Z \leq z) = 0,70$).

Segons la taula de la distribució normal estàndard, el valor de $Z$ que correspon a una probabilitat acumulada de 0,70 és aproximadament $Z = 0,524$.

Pas 2: Convertir el valor de $Z$ al valor original de la variable $X$.

Utilitzem la fórmula per a la variable tipificada:
$$Z = \frac{X – \mu}{\sigma}$$
Resolem per $X$:
$$X = Z \cdot \sigma + \mu$$
Substituïm els valors:
$$X = 0,524 \cdot 30 + 170 = 15,72 + 170 = 185,72 \, \text{mg/dl}$$

Així, el percentil 70 de la distribució dels nivells de colesterol és aproximadament $185,72$ mg/dl.

d) Per trobar l’interval centrat en la mitjana que conté el $50\%$ dels nivells de colesterol, hem de determinar els valors corresponents a les probabilitats acumulades de $25\%$ i $75\%$. Això ens donarà un interval simètric al voltant de la mitjana ($\mu = 170$ mg/dl) que conté el $50\%$ central de la distribució.

Pas 1: Trobar els valors de $Z$ corresponents al percentil 25 i al percentil 75.

Els percentils corresponents són:

• El percentil 25: $P(Z \leq z_{25}) = 0,25$.
• El percentil 75: $P(Z \leq z_{75}) = 0,75$.

A partir de la taula de la distribució normal, els valors de $Z$ corresponents són:

• Per al percentil 25, $z_{25} \approx -0,674$.
• Per al percentil 75, $z_{75} \approx 0,674$.

Pas 2: Convertir aquests valors de $Z$ als valors originals de la variable $X$.

Utilitzem la fórmula per a la variable tipificada:
$$X = Z \cdot \sigma + \mu$$

1. Per al percentil 25 (on $Z = -0,674$):
   $$X_{25} = (-0,674) \cdot 30 + 170 = -20,22 + 170 = 149,78 \, \text{mg/dl}$$
2. Per al percentil 75 (on $Z = 0,674$):
   $$X_{75} = (0,674) \cdot 30 + 170 = 20,22 + 170 = 190,22 \, \text{mg/dl}$$

Pas 3: Calcular l’interval centrat en la mitjana.

Per tant, l’interval centrat en la mitjana que conté el $50\%$ dels nivells de colesterol és:
$$[149,78 \, \text{mg/dl}, 190,22 \, \text{mg/dl}]$$