Problema inferència estadística

Resoleu els apartats següents: a) El pes dels habitants d’una ciutat té una mitjana de 67 kg i una desviació típica de 5 kg. Quina és la probabilitat que la mitjana del pes de 100 persones superi els 68.5 kg? I que sigui menor que 68 kg?. b) En un hospital s’ha pres la temperatura a una mostra de 64 pacients, per a estimar la temperatura mitjana dels malalts. La mitjana de la mostra ha estat de 37,1 ◦C, i la desviació típica de la població, d’1,04 ◦C. Calcula un interval de confiança per a la mitjana poblacional amb un nivell de confiança del 99%. Interpreta el resultat en l’entorn del problema.

a) El pes dels habitants d’una ciutat té una mitjana de 67 kg i una desviació típica de 5 kg. Quina és la probabilitat que la mitjana del pes de 100 persones superi els 68.5 kg? I que sigui menor que 68 kg?Aquesta pregunta fa referència a una distribució de la mitjana d’una mostra de 100 persones, que segueix una distribució normal. Per utilitzar la distribució normal, fem servir la distribució normal de la mitjana de la mostra.

Paràmetres:

– Mitjana poblacional (\(\mu\)) = 67 kg

– Desviació típica poblacional (\(\sigma\)) = 5 kg

– Mida de la mostra (\(n\)) = 100

El desviament estàndard de la mitjana de la mostra és:\[\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{5}{\sqrt{100}} = \frac{5}{10} = 0.5\]Ara, calculem les probabilitats.

1. Probabilitat que la mitjana superi els 68.5 kg Calculem el valor de \( Z \) per a la mitjana de 68.5 kg:\[Z = \frac{X – \mu}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{68.5 – 67}{0.5} = \frac{1.5}{0.5} = 3\]Busquem la probabilitat que \( Z > 3 \) utilitzant taules de la distribució normal o calculadora. La probabilitat que \( Z \) sigui menor que 3 és aproximadament 0.99865. Per tant:\[P(Z > 3) = 1 – 0.99865 = 0.00135\]Per tant, la probabilitat que la mitjana superi els 68.5 kg és aproximadament **0.00135** (o 0.135%).

2. Probabilitat que la mitjana sigui menor que 68 kg. Ara calculem el valor de \( Z \) per a la mitjana de 68 kg:\[Z = \frac{68 – 67}{0.5} = \frac{1}{0.5} = 2\]La probabilitat que \( Z \) sigui menor que 2 és aproximadament 0.9772.Per tant, la probabilitat que la mitjana sigui menor que 68 kg és 0.9772 (o 97.72%).

b) En un hospital s’ha pres la temperatura a una mostra de 64 pacients, per a estimar la temperatura mitjana dels malalts. La mitjana de la mostra ha estat de 37.1°C, i la desviació típica de la població, d’1.04°C. Calcula un interval de confiança per a la mitjana poblacional amb un nivell de confiança del 99%. Interpreta el resultat en l’entorn del problema.Aquesta pregunta tracta de calcular un interval de confiança per a la mitjana poblacional. Utilitzarem la fórmula per a l’interval de confiança d’una mitjana amb la desviació típica coneguda:\[\mu \in \left[ \bar{x} – Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]\]

Paràmetres:

– Mitjana de la mostra (\(\bar{x}\)) = 37.1°C- Desviació típica de la població (\(\sigma\)) = 1.04°C

– Mida de la mostra (\(n\)) = 64

– Nivell de confiança = 99%El valor crític de \( Z_{\alpha/2} \) per a un nivell de confiança del 99% és aproximadament 2.576 (a partir de taules de la distribució normal). Ara calculem l’interval de confiança:

1. Calculem el desviament estàndard de la mitjana de la mostra:\[\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1.04}{\sqrt{64}} = \frac{1.04}{8} = 0.13\]

2. Calculem els límits de l’interval de confiança:\[\text{Límit inferior} = 37.1 – 2.576 \cdot 0.13 = 37.1 – 0.334 = 36.766\]\[\text{Límit superior} = 37.1 + 2.576 \cdot 0.13 = 37.1 + 0.334 = 37.434\]Per tant, l’interval de confiança per a la temperatura mitjana poblacional amb un nivell de confiança del 99% és:\[[36.766, 37.434]\]

Interpretació: Això vol dir que podem afirmar amb un 99% de confiança que la temperatura mitjana de tots els pacients de l’hospital es troba entre 36.766°C i 37.434°C.