Problema inferència estadística

Resoleu els apartats següents: a) El pes dels habitants d’una ciutat té una mitjana de $67$ kg i una desviació típica de $5$ kg. Quina és la probabilitat que la mitjana del pes de $100$ persones superi els $68.5$ kg? I que sigui menor que $68$ kg?. b) En un hospital s’ha pres la temperatura a una mostra de $64$ pacients, per a estimar la temperatura mitjana dels malalts. La mitjana de la mostra ha estat de $37,1$ ºC, i la desviació típica de la població, d’$1,04$ ºC. Calcula un interval de confiança per a la mitjana poblacional amb un nivell de confiança del $99\%$. Interpreta el resultat en l’entorn del problema.

a) El pes dels habitants d’una ciutat té una mitjana de $67$ kg i una desviació típica de $5$ kg. Quina és la probabilitat que la mitjana del pes de $100$ persones superi els $68.5$ kg? I que sigui menor que $68$ kg?Aquesta pregunta fa referència a una distribució de la mitjana d’una mostra de $100$ persones, que segueix una distribució normal. Per utilitzar la distribució normal, fem servir la distribució normal de la mitjana de la mostra.

Paràmetres:

• Mitjana poblacional (\(\mu\)) = 67 kg

• Desviació típica poblacional (\(\sigma\)) = 5 kg

• Mida de la mostra (\(n\)) = 100

El desviament estàndard de la mitjana de la mostra és:\[\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{5}{\sqrt{100}} = \frac{5}{10} = 0.5\]Ara, calculem les probabilitats.

1. Probabilitat que la mitjana superi els 68.5 kg Calculem el valor de \( Z \) per a la mitjana de 68.5 kg:\[Z = \frac{X – \mu}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{68.5 – 67}{0.5} = \frac{1.5}{0.5} = 3\]Busquem la probabilitat que \( Z > 3 \) utilitzant taules de la distribució normal o calculadora. La probabilitat que \( Z \) sigui menor que 3 és aproximadament 0.99865. Per tant:\[P(Z > 3) = 1 – 0.99865 = 0.00135\]Per tant, la probabilitat que la mitjana superi els 68.5 kg és aproximadament **0.00135** (o 0.135%).

2. Probabilitat que la mitjana sigui menor que 68 kg. Ara calculem el valor de \( Z \) per a la mitjana de 68 kg:\[Z = \frac{68 – 67}{0.5} = \frac{1}{0.5} = 2\]La probabilitat que \( Z \) sigui menor que 2 és aproximadament 0.9772.Per tant, la probabilitat que la mitjana sigui menor que 68 kg és 0.9772 (o 97.72%).

b) En un hospital s’ha pres la temperatura a una mostra de 64 pacients, per a estimar la temperatura mitjana dels malalts. La mitjana de la mostra ha estat de 37.1°C, i la desviació típica de la població, d’1.04°C. Calcula un interval de confiança per a la mitjana poblacional amb un nivell de confiança del 99%. Interpreta el resultat en l’entorn del problema.Aquesta pregunta tracta de calcular un interval de confiança per a la mitjana poblacional. Utilitzarem la fórmula per a l’interval de confiança d’una mitjana amb la desviació típica coneguda:\[\mu \in \left[ \bar{x} – Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]\]

Paràmetres:

• Mitjana de la mostra (\(\bar{x}\)) = 37.1°C- Desviació típica de la població (\(\sigma\)) = 1.04°C

• Mida de la mostra (\(n\)) = 64

• Nivell de confiança = 99%El valor crític de \( Z_{\alpha/2} \) per a un nivell de confiança del 99% és aproximadament 2.576 (a partir de taules de la distribució normal). Ara calculem l’interval de confiança:

1. Calculem el desviament estàndard de la mitjana de la mostra:\[\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1.04}{\sqrt{64}} = \frac{1.04}{8} = 0.13\]

2. Calculem els límits de l’interval de confiança:\[\text{Límit inferior} = 37.1 – 2.576 \cdot 0.13 = 37.1 – 0.334 = 36.766\]\[\text{Límit superior} = 37.1 + 2.576 \cdot 0.13 = 37.1 + 0.334 = 37.434\]Per tant, l’interval de confiança per a la temperatura mitjana poblacional amb un nivell de confiança del 99% és:\[[36.766, 37.434]\]

Interpretació: Això vol dir que podem afirmar amb un 99% de confiança que la temperatura mitjana de tots els pacients de l’hospital es troba entre 36.766°C i 37.434°C.