Problema aproximació a binomial

El $70\%$ dels alumnes de batxillerat tenen mòbil. a) Si un centre té $1400$ alumnes de batxillerat, quants s’espera que tinguin mòbil? b) Quina és la probabilitat que, en una mostra aleatòria amb repetició de $150$ alumnes de batxillerat, n’hi hagi més de $100$ amb telèfon mòbil? c) Quina és la probabilitat que, en una mostra aleatòria de $200$ alumnes de batxillerat, n’hi hagi $140$ o menys amb telèfon mòbil?

a) \begin{equation}
1400 \cdot \frac{70}{100} = 980
\end{equation}

alumnes s’espera que tinguin telèfon mòbil.

b) La distribució \( X \) = “nombre d’alumnes dels $150$ amb telèfon mòbi” és una binomial \( B(150, 0.7) \), amb \( 150 \cdot 0.7 > 5 \) i \( 150 \cdot 0.3 > 5 \), per tant la podem aproximar per una normal:

\begin{equation}
X_0 \sim N(np, \sqrt{np(1 – p)}) = N(150 \cdot 0.7, \sqrt{150 \cdot 0.7 \cdot 0.3}) = N(105, 5.6).
\end{equation}

Aplicant la correcció per continuïtat:

\begin{equation}
P(X > 100) = P(X_0 \geq 100.5) = P\left(Z > \frac{100.5 – 105}{5.6}\right) = P(Z > -0.8)
\end{equation}

\begin{equation}
= P(Z < 0.8) = \phi(0.8) = 0.7881.
\end{equation}

c) La distribució de $X$ és una binomial $B(200, 0.7)$, que podem aproximar per una normal:

\begin{equation} X_0 \sim N(140, 6.48). \end{equation} Per tant: \begin{equation} P(X \leq 140) = P(X_0 \leq 140.5) = P\left(Z \leq \frac{140.5 – 140}{6.48}\right) = P(Z \leq 0.08) \end{equation} \begin{equation} = \phi(0.08) = 0.5319. \end{equation}