Problema de claus. Distribució normal

Una màquina produeix claus de longitud mitjana $80$ mm amb una desviació típica de $3$ mm. a) Quina és la probabilitat que la longitud mitjana d’una mostra de $100$ claus sigui superior a $81$ mm? b) Si es prenen $50$ caixes de $100$ claus, en quantes cal esperar que la longitud mitjana estigui compresa entre $79$ mm i $81$ mm.

Una màquina produeix claus amb una longitud mitjana de $80$ mm i una desviació típica de $3$ mm.

Apartat a) Probabilitat que la longitud mitjana d’una mostra de $100$ claus sigui superior a $81$ mm

Tenim els següents dades:

• Longitud mitjana $\mu = 80$ mm
• Desviació típica $\sigma = 3$ mm
• Mida de la mostra $n = 100$ claus

La desviació típica de la mitjana muestral, o error estàndard, es calcula com:
$$\sigma_{\overline{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3}{\sqrt{100}} = \frac{3}{10} = 0,3$$

Volem trobar $P(\overline{X} > 81)$, on $\overline{X}$ és la mitjana muestral de les longituds dels claus.

1. Estandarització: Utilitzem la distribució normal estàndard per estandaritzar el valor $81$.
   $$Z = \frac{\overline{X} – \mu}{\sigma_{\overline{X}}} = \frac{81 – 80}{0.3} = \frac{1}{0.3} \approx 3.33$$
2. Calcular la probabilitat: Busquem $P(Z > 3.33)$ a la taula de la distribució normal estàndard. La probabilitat corresponent a $Z > 3.33$ és molt petita, aproximadament:
   $$P(Z > 3.33) \approx 0.0004$$

Per tant, la probabilitat que la longitud mitjana d’una mostra de $100$ claus sigui superior a $81$ mm és aproximadament $0.0004$, o $0.04\%$.

Apartat b) Nombre esperat de caixes on la longitud mitjana estigui entre $79$ mm i $81$ mm

Volem trobar el nombre de caixes de $100$ claus on la mitjana muestral estigui en l’interval $[79, 81]$.

1. Probabilitat que la mitjana estigui entre $79$ mm i $81$ mm:

• Calculem $P(79 \leq \overline{X} \leq 81)$.

1. Estandarització dels límits:

• Per $\overline{X} = 79$:
  $$Z = \frac{79 – 80}{0.3} = \frac{-1}{0.3} \approx -3.33$$
• Per $\overline{X} = 81$:
  $$Z = \frac{81 – 80}{0.3} = \frac{1}{0.3} \approx 3.33$$ Així, volem trobar $P(-3.33 \leq Z \leq 3.33)$.

1. Calcular la probabilitat:

• La probabilitat corresponent a $P(-3.33 \leq Z \leq 3.33)$ és pràcticament tota l’àrea sota la corba normal estàndard, ja que gairebé el $100\%$ de les observacions estan dins d’aquest interval. Més precisament:
  $$P(-3.33 \leq Z \leq 3.33) \approx 0.9992$$

1. Calcular el nombre esperat de caixes:

• Si es prenen $50$ caixes de $100$ claus, el nombre esperat de caixes on la longitud mitjana estigui entre $79$ mm i $81$ mm és:
  $$50 \times 0.9992 \approx 49.96$$

Aproximadament, s’espera que en $50$ caixes la longitud mitjana estigui entre $79$ mm i $81$ mm.