Exercici 4B. Física relativista, quàntica, nuclear i de partícules. Sèrie 0. Física selectivitat

Observem que en una mostra metàl·lica apareix l’efecte fotoelèctric quan la il·luminem amb llum monocromàtica de longituds d’ona menors o igual a $650$ nm. a) Calculeu el treball d’extracció del metall. Calculeu el potencial de frenada si il·luminem el metall amb llum de $300$ nm. b) Trobeu l’expressió de la velocitat dels electrons en funció de la longitud d’ona incident per aquest metall. Calculeu la velocitat dels electrons per una longitud d’ona incident de $500$ nm i la longitud d’ona de De Broglie associada a aquests electrons.

La longitud d’ona llindar $\lambda_0 = 650 \cdot 10^{-9} \, \text{m}$ és la longitud d’ona més alta per a la qual tenim efecte fotoelèctric. Correspon a una freqüència:

$$f_0 = \frac{c}{\lambda} = \frac{3,0 \cdot 10^8}{650 \cdot 10^{-9}} = 4,62 \times 10^{14} \, \text{Hz}.$$

El treball d’extracció del metall és l’energia mínima per extreure l’electró:

$$hf = E_C + W_0.$$

Per tant, per a $E_C = 0$, $W_0 = hf_0$. Fent el càlcul obtenim:

$$W_0 = hf_0 = 6,626 \times 10^{-34} \cdot 4,62 \times 10^{14} = 3,06 \cdot 10^{-19} \, \text{J} = 1,91 \, \text{eV}.$$

El potencial de frenada és el voltatge que necessitem aplicar per frenar els electrons amb més energia cinètica:

$$\Delta U = |e| \Delta V = E_C.$$

Calculem l’energia cinètica amb la qual surten els electrons per a $300$ nm. Primer, calculem la freqüència corresponent:

$$f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3,0 \cdot 10^8}{300 \cdot 10^{-9}} = 1,00 \times 10^{15} \, \text{Hz}.$$

Tot seguit, l’energia cinètica a la qual surten és:

$$E_C = hf – W_0 = 6,626 \times 10^{-34} \cdot 1,00 \times 10^{15} – 3,06 \cdot 10^{-19} = 3,57 \cdot 10^{-19} \, \text{J}$$

L’energia cinètica es contraresta amb una energia potencial elèctrica d’igual mòdul:

$$\Delta U = q \cdot \Delta V.$$

Per tant, el potencial de frenada ha de ser:

$$\Delta V = \frac{E_C}{|e|} = \frac{3,57 \cdot 10^{-19}}{1,602 \cdot 10^{-19}} = 2,23 \, \text{V}.$$

A partir de l’equació de l’energia cinètica ja utilitzada tenim:

$$E_C = \frac{1}{2} mv^2 = hf – W_0.$$

I posant la freqüència en funció de la longitud d’ona s’obté:

$$v = \sqrt{\frac{2m}{\left(\frac{hc}{\lambda} – W_0\right)}}$$

Introduint els valors corresponents:

$$v(\lambda) = \sqrt{\frac{2 \cdot 9,11 \cdot 10^{-31}}{\left(\frac{6,626 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{\lambda} – 3,06 \cdot 10^{-19}\right)}} \, \text{m/s}$$

Per tant, l’expressió és:

$$v(\lambda) = \sqrt{\frac{4,36 \cdot 10^5}{\lambda} – 6,72 \cdot 10^{11}} \, \text{m/s}$$

0,25 punts La velocitat per a $500$ nm:

$$v(500 \, \text{nm}) = \sqrt{\frac{4,36 \cdot 10^5}{500 \cdot 10^{-9}} – 6,72 \cdot 10^{11}} = 4,47 \cdot 10^5 \, \text{m/s}$$

La longitud d’ona de De Broglie la calculem a partir de la quantitat de moviment de l’electró i la relació de De Broglie:

$$p = mv = \frac{h}{\lambda}$$

Per tant:

$$\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{6,626 \cdot 10^{-34}}{9,11 \cdot 10^{-31} \cdot 4,47 \cdot 10^5} = 1,63 \cdot 10^{-9} \, \text{m} = 1,63 \, \text{nm}$$