Problema 1 PAAU-LOGSE. Curs 2000-2001

Problema 1 PAAU-LOGSE. Curs 2000-2001
29 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Dinàmica, Física Oscar Alex Fernandez Mora

Una massa $m = 500 \, \text{g}$ penja d’un fil de longitud $l = 2 \, \text{m}$. Es deixa anar la massa quan el fil forma un angle $\alpha$ amb la vertical, i quan passa pel punt més baix la seva velocitat és $v = 3 \, \text{m/s}$. En aquest instant es trenca la corda i la massa $m$ continua movent-se sobre el pla horitzontal fins a topar amb una molla. La compressió màxima de la molla deguda al xoc amb la massa $m$ és de $40$ cm. Es demana:

a) La tensió de la corda immediatament abans de trencar-se.
b) El valor de l’angle $\alpha$.
c) La constant recuperadora $k$ de la molla.

Per resoldre aquest problema, analitzarem cada apartat utilitzant les lleis de la física relacionades amb la dinàmica, l’energia i les forces. Anem per parts:

a) Tensió de la corda immediatament abans de trencar-se

La tensió en la corda en el punt més baix del moviment es pot calcular tenint en compte les forces que actuen sobre la massa $m$ en aquest punt.

  1. Forces actuant sobre la massa:
  • El pes de la massa $m$:
    $$P = m \cdot g = 0.5 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 4.905 \, \text{N}$$
  • La tensió $T$ a la corda.
  1. Força centrípeta:
    En el punt més baix, la tensió en la corda ha de proporcionar no només el pes de la massa, sinó també la força necessària per mantenir la massa en moviment circular. La força centrípeta $F_c$ es pot calcular com:
    $$F_c = \frac{m \cdot v^2}{l}$$
    On:
  • $v = 3 \, \text{m/s}$ és la velocitat,
  • $l = 2 \, \text{m}$ és la longitud del fil. $$F_c = \frac{0.5 \cdot (3)^2}{2} = \frac{0.5 \cdot 9}{2} = \frac{4.5}{2} = 2.25 \, \text{N}$$
  1. Equilibri de forces:
    En el punt més baix, l’equació de forces es pot expressar com:
    $$T – P = F_c$$
    Substituint els valors:
    $$T – 4.905 = 2.25$$
    $$T = 2.25 + 4.905 = 7.155 \, \text{N}$$

b) Valor de l’angle $\alpha$

Per determinar l’angle $\alpha$, podem usar el principi de conservació de l’energia.

  1. Energia potencial inicial:
    Quan la massa és deixada anar des d’un angle $\alpha$, l’energia potencial $U$ és:
    $$U = m \cdot g \cdot h$$ La variació d’alçada $h$ es pot calcular com:
    $$h = l – l \cos(\alpha) = l(1 – \cos(\alpha))$$
    Substituint:
    $$U = m \cdot g \cdot l (1 – \cos(\alpha)) = 0.5 \cdot 9.81 \cdot 2 (1 – \cos(\alpha))$$
  2. Energia cinètica:
    L’energia cinètica en el punt més baix és:
    $$K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot (3)^2 = 2.25 \, \text{J}$$
  3. Conservació de l’energia:
    L’energia potencial inicial es converteix totalment en energia cinètica en el punt més baix:
    $$U = K$$
    $$0.5 \cdot 9.81 \cdot 2 (1 – \cos(\alpha)) = 2.25$$
    Simplificant:
    $$9.81 (1 – \cos(\alpha)) = 2.25$$
    $$1 – \cos(\alpha) = \frac{2.25}{9.81} \approx 0.229$$
    $$\cos(\alpha) = 1 – 0.229 \approx 0.771$$
    $$\alpha = \cos^{-1}(0.771) \approx 39.2^\circ$$

c) Constant recuperadora $k$ de la molla

La compressió de la molla es pot relacionar amb l’energia cinètica de la massa just abans de col·lisionar amb la molla.

  1. Energia potencial elàstica de la molla:
    L’energia emmagatzemada en una molla comprimida es calcula com:
    $$E_{molla} = \frac{1}{2} k x^2$$
    On $x = 0.4 \, \text{m}$ ($40$ cm de compressió).
  2. Energia cinètica inicial:
    En el moment de la compressió màxima de la molla, l’energia cinètica es transforma en energia potencial de la molla:
    $$\frac{1}{2} k x^2 = K$$
    Sabent que $K = 2.25 \, \text{J}$:
    $$\frac{1}{2} k (0.4)^2 = 2.25$$
    Simplificant:
    $$\frac{1}{2} k (0.16) = 2.25$$
    $$k \cdot 0.08 = 2.25$$
    $$k = \frac{2.25}{0.08} \approx 28.125 \, \text{N/m}$$

Resultats finals

  • a) La tensió de la corda immediatament abans de trencar-se és aproximadament $7.155$ N.
  • b) El valor de l’angle $\alpha$ és aproximadament $39.2$°.
  • c) La constant recuperadora $k$ de la molla és aproximadament $28.125$ N/m.
Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *