Sistema d’equacions 3×3

Resoleu \begin{cases}2x – y + 2z = 6 \\ 3x + 2y – z = 4 \\ 4x + 3y – 3z = 1 \end{cases}

Per resoldre aquest sistema d’equacions lineals per la regla de Cramer, primer hem d’identificar les equacions i expressar-les en forma matricial:\[\begin{cases}2x – y + 2z = 6 \\ 3x + 2y – z = 4 \\ 4x + 3y – 3z = 1 \end{cases}\]Les matrius seran:

– Matriu de coeficients \(A\): \[A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \\ 4 & 3 & -3 \end{pmatrix}\]

– Matriu de termes independents \(B\):\[B = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\]Per aplicar la regla de Cramer, necessitem calcular el determinant de la matriu \(A\), així com els determinants de les matrius \(A_x\), \(A_y\) i \(A_z\), que es generen substituint, respectivament, la primera, segona i tercera columna de \(A\) pel vector \(B\).

Pas 1: Calcul determinant de \(A\) \[\det(A) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \\ 4 & 3 & -3 \end{vmatrix}\]

Pas 2: Calcular \(A_x\), \(A_y\) i \(A_z\)

1. Matriu \(A_x\) substituint la primera columna pel vector \(B\):\[A_x = \begin{pmatrix} 6 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & -3 \end{pmatrix}\]

2. Matriu \(A_y\) substituint la segona columna pel vector \(B\):\[A_y = \begin{pmatrix} 2 & 6 & 2 \\ 3 & 4 & -1 \\ 4 & 1 & -3 \end{pmatrix}\]

3. Matriu \(A_z\) substituint la tercera columna pel vector \(B\):\[A_z = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 6 \\ 3 & 2 & 4 \\ 4 & 3 & 1 \end{pmatrix}\]Ara calcularé els determinants.Els determinants són els següents:\[\det(A) = -9, \quad \det(A_x) = -9, \quad \det(A_y) = -18, \quad \det(A_z) = -27\]

Pas 3: Càlcul de \(x\), \(y\), i \(z\). Segons la regla de Cramer:\[x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{-9}{-9} = 1\]\[y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-18}{-9} = 2\]\[z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)} = \frac{-27}{-9} = 3\]

Solució: La solució del sistema és:\[x = 1, \quad y = 2, \quad z = 3\]