Sistema d’equacions 3×3 pel mètode de Gauss

Resoleu \begin{cases}5x – 3y – z = 1 \\ x + 4y – 6z = -1 \\ 2x + 3y + 4z = 9 \end{cases}

Per resoldre aquest sistema d’equacions amb el mètode de Gauss, primer expressarem el sistema en forma matricial i aplicarem operacions fila per transformar la matriu de coeficients en una matriu triangular superior.El sistema és:\[\begin{cases}5x – 3y – z = 1 \\x + 4y – 6z = -1 \\2x + 3y + 4z = 9 \\\end{cases}\]### 1. Matriu augmentadaEscrivim la matriu augmentada \(A|B\) del sistema:\[\begin{pmatrix}5 & -3 & -1 & | & 1 \\1 & 4 & -6 & | & -1 \\2 & 3 & 4 & | & 9 \\\end{pmatrix}\]A continuació, aplicarem operacions fila per obtenir una matriu triangular superior.Després d’aplicar l’eliminació de Gauss, la matriu augmentada en forma triangular superior és:\[\begin{pmatrix}5 & -3 & -1 & | & 1 \\0 & 4.6 & -5.8 & | & -1.2 \\0 & 0 & 9.70 & | & 9.70 \\\end{pmatrix}\]### Resolució del sistema per substitució enrere1. De l’última fila obtenim: \[ 9.70z = 9.70 \Rightarrow z = 1 \]2. Substituïm \(z = 1\) en la segona fila: \[ 4.6y – 5.8 \cdot 1 = -1.2 \Rightarrow 4.6y = 4.6 \Rightarrow y = 1 \]3. Finalment, substituïm \(y = 1\) i \(z = 1\) en la primera fila: \[ 5x – 3 \cdot 1 – 1 \cdot 1 = 1 \Rightarrow 5x = 5 \Rightarrow x = 1 \]### SolucióLa solució del sistema és:\[x = 1, \quad y = 1, \quad z = 1\]