Sistema d’equacions 3×3 pel mètode de la matriu inversa

Resoleu \[\begin{cases}2x – y + z = -2 \\x + 3y + z = 0 \\x + y – z = 8 \\\end{cases}\]

Per trobar la solució del sistema mitjançant el mètode de la matriu inversa sense decimals, fem una inversió pas a pas de la matriu \(A\) seguint la regla de Cramer. Donem el sistema en forma matricial:\[\begin{cases}2x – y + z = -2 \\x + 3y + z = 0 \\x + y – z = 8 \\\end{cases}\]

1. Formem les matrius \(A\) i \(B\)El sistema es pot expressar com:\[AX = B\]amb:\[A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}\]

2. Calculem el determinant de \(A\)Per trobar la inversa de \(A\), primer necessitem el seu determinant:\[\det(A) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}\]Calculem aquest determinant:\[\det(A) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} – (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\]Resolent cadascun dels menors:

1. \( \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-1) – 1 \cdot 1 = -3 – 1 = -4 \)

2. \( \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) – 1 \cdot 1 = -1 – 1 = -2 \)

3. \( \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 – 3 \cdot 1 = 1 – 3 = -2 \)

Substituint aquests valors en el determinant:\[\det(A) = 2 \cdot (-4) + 1 \cdot (-2) + 1 \cdot (-2) = -8 + 2 – 2 = -12\]

3. Calculem la matriu adjunta de \(A\)Per obtenir la matriu inversa de \(A\), necessitem la seva matriu adjunta. La matriu adjunta es calcula trobant el cofactor de cada element de \(A\).

Cofactors de \(A\)\[\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{pmatrix}\] On cada cofactor és:

1. \( C_{11} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -4 \)

2. \( C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2 \)

3. \( C_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2 \)

4. \( C_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 0 \)

5. \( C_{22} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -3 \)

6. \( C_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -3 \)

7. \( C_{31} = \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -4 \)

8. \( C_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 \)

9. \( C_{33} = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 7 \)

Per tant:\[\text{Adj}(A)^T = \begin{pmatrix} -4 & 0 & -4 \\ 2 & -3 & -1 \\ -2 & -3 & 7 \end{pmatrix}\]

4. Calculem la inversa de \(A\) La matriu inversa de \(A\) és:\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{Adj}(A)^T = -\frac{1}{12} \begin{pmatrix} -4 & 0 & -4 \\ 2 & -3 & -1 \\ -2 & -3 & 7 \end{pmatrix}\] Simplificant, tenim:\[A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{4} & \frac{1}{12} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{4} & -\frac{7}{12} \end{pmatrix}\]

5. Multipliquem \(A^{-1}\) per \(B\) per trobar \(X\)Multipliquem \(A^{-1}\) pel vector \(B\):\[X = A^{-1} \cdot B = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{4} & \frac{1}{12} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{4} & -\frac{7}{12} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}\]Realitzant les operacions, obtenim:\[X = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}\]

La solució del sistema és:\[x = 2, \quad y = 1, \quad z = -5\]