Problema càlcul de matrius

Donades les matrius $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} , \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$$

Cal trobar la matriu $P$ que verifiqui $$P – B^2 = A \cdot B$$

Per trobar la matriu $P$ que verifica l’equació:

$$P – B^2 = A \cdot B$$

aïllem $P$:

$$P = A \cdot B + B^2$$

Pas 1: Calcular $A \cdot B$

Donades les matrius:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$$

Multipliquem $A$ per $B$:

$$A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$$

Fem la multiplicació element a element:

• Primera fila:
• $(1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) + (1 \cdot 0) = 1 + 4 + 0 = 5$
• $(1 \cdot 0) + (2 \cdot 2) + (1 \cdot 0) = 0 + 4 + 0 = 4$
• $(1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) + (1 \cdot 6) = 1 + 4 + 6 = 11$
• Segona fila:
• $(1 \cdot 1) + (3 \cdot 2) + (1 \cdot 0) = 1 + 6 + 0 = 7$
• $(1 \cdot 0) + (3 \cdot 2) + (1 \cdot 0) = 0 + 6 + 0 = 6$
• $(1 \cdot 1) + (3 \cdot 2) + (1 \cdot 6) = 1 + 6 + 6 = 13$
• Tercera fila:
• $(0 \cdot 1) + (0 \cdot 2) + (2 \cdot 0) = 0 + 0 + 0 = 0$
• $(0 \cdot 0) + (0 \cdot 2) + (2 \cdot 0) = 0 + 0 + 0 = 0$
• $(0 \cdot 1) + (0 \cdot 2) + (2 \cdot 6) = 0 + 0 + 12 = 12$

Llavors:
$$A \cdot B = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 11 \\ 7 & 6 & 13 \\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix}$$

Pas 2: Calcular $B^2$

Multipliquem $B$ per si mateixa:
$$B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$$

Fem la multiplicació element a element:

• Primera fila:
• $(1 \cdot 1) + (0 \cdot 2) + (1 \cdot 0) = 1 + 0 + 0 = 1$
• $(1 \cdot 0) + (0 \cdot 2) + (1 \cdot 0) = 0 + 0 + 0 = 0$
• $(1 \cdot 1) + (0 \cdot 2) + (1 \cdot 6) = 1 + 0 + 6 = 7$
• Segona fila:
• $(2 \cdot 1) + (2 \cdot 2) + (2 \cdot 0) = 2 + 4 + 0 = 6$
• $(2 \cdot 0) + (2 \cdot 2) + (2 \cdot 0) = 0 + 4 + 0 = 4$
• $(2 \cdot 1) + (2 \cdot 2) + (2 \cdot 6) = 2 + 4 + 12 = 18$
• Tercera fila:
• $(0 \cdot 1) + (0 \cdot 2) + (6 \cdot 0) = 0 + 0 + 0 = 0$
• $(0 \cdot 0) + (0 \cdot 2) + (6 \cdot 0) = 0 + 0 + 0 = 0$
• $(0 \cdot 1) + (0 \cdot 2) + (6 \cdot 6) = 0 + 0 + 36 = 36$

Llavors:
$$B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 7 \\ 6 & 4 & 18 \\ 0 & 0 & 36 \end{pmatrix}$$

Pas 3: Calcular $P = A \cdot B + B^2$

Ara sumem $A \cdot B$ i $B^2$:
$$P = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 11 \\ 7 & 6 & 13 \\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 7 \\ 6 & 4 & 18 \\ 0 & 0 & 36 \end{pmatrix}$$

Sumant element a element:
$$P = \begin{pmatrix} 5 + 1 & 4 + 0 & 11 + 7 \\ 7 + 6 & 6 + 4 & 13 + 18 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 12 + 36 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 4 & 18 \\ 13 & 10 & 31 \\ 0 & 0 & 48 \end{pmatrix}$$

Resposta

La matriu $P$ que satisfà l’equació és:
$$P = \begin{pmatrix} 6 & 4 & 18 \\ 13 & 10 & 31 \\ 0 & 0 & 48 \end{pmatrix}$$