Problema 6 examen matemàtiques CCSS 04.06.2020

Determina razonadamente los valores del parámetro $m$ para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución: $$\left.\begin{array}{ccc}2x+y+z & = & mx \\ x + 2y+ z & = & my \\ x + 2y+ 4z & = & mz \end{array}\right\}$$
Resuelve el sistema anterior para el caso $m = 0$ y para el caso $m = 1$.

Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes: $$|A| = -m^3+8m^2-16m+9$$
Igualamos a cero y resolvemos la ecuación:
$$-m^3+8m^2-16m+9=0 \longrightarrow m=1 ; m=\frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}$$

Cuando $m\neq 1$ y $m \neq \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}$ el $det(A)$ será distinto de cero y entonces $rg(A)=3 = rg(A*)=$nº inc. (S.C.D.)

• Para $m=1$ y para $m=\frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}$ el sistema tiene infinitas soluciones pues $rg(A)=2=rg(A*)<$nºinc. (S.C.I.)
• Para $m=0$ es S.C.Det. con la única solución $x=0$; $y=0$; $z=0$
• Para $m=1$ es S.C. Indet. (infinitas soluciones). Las soluciones son: $$\left.\begin{array}{ccc}x = t \\y = -2t \\z = t\end{array}\right\}$$